Derivada de tiempo parcial de la acción en el caparazón

Question

Derivada de tiempo parcial de la acción en el caparazón

acción
Física
mecanica clasica
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
derivados funcionales

xzd209

Tengo algunas preguntas sobre cómo diferenciar la acción en el shell.

Esto es lo que entiendo actualmente (¡o creo que entiendo!):

Dado que un sistema con Lagrangiano $\mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)$ tiene la coordenada $\mathbf{q}_1$ en el momento $t_1$ , y la coordenada $\mathbf{q}_2$ en el momento $t_2$ , existe un único 'camino extremo' $\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t)$ que hace que la acción sea funcional
$S [q (t)] = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t$ $\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)\text{d}t$ estacionario. En otras palabras, $\gamma$ satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, ${(\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) |}_{q (t) = γ (t)} = 0,$ $\left.\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q} -\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} \right)\right|_{q(t) = \gamma(t)} = \mathbf{0},$ y tiene $\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_1) = \mathbf{q}_1$ y $\gamma(t_1, \mathbf{q}_1, t_2, \mathbf{q}_2; t_2) = \mathbf{q}_2$ .
Además, la existencia de esta función permite definir la velocidad, el momento, etc. en los puntos finales, por ejemplo, el momento en $(t_2, \mathbf{q}_2)$ es
${pag}_{2} = {\frac{\partial L}{\partial \dot{γ} (t)} |}_{t = t_{2}},$ $\mathbf{p}_2 = \left.\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}(t)}\right|_{t=t_2},$ dónde $\dot{\gamma} \equiv \partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t) /\partial t$ .
Postergación $t_1$ y $\mathbf{q}_2$ para simplificar, esto permite que la acción en el shell (ver aquí ) se defina como
$\begin{matrix} (1) & s (t_{2}, q_{2}) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (γ (t_{2}, q_{2}; t), \dot{γ} (t_{2}, q_{2}; t), t) d t . \end{matrix}$ $s(t_2, \mathbf{q}_2) = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t. \tag{1}$ En tono rimbombante, $s$ es una función de $t_2$ , $\mathbf{q}_2$ , y no un funcional. Por lo tanto, se puede diferenciar como cualquier otra función.
Se muestra en Landau que

$\begin{matrix} (2) & \frac{\partial s}{\partial t_{2}} = - H_{2}, \frac{\partial s}{\partial q_{2}} = {pag}_{2}, \end{matrix}$ $\frac{\partial s}{\partial t_2} = -\mathcal{H}_2, \quad \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} = \mathbf{p}_2, \tag{2}$

pero no sigo el argumento dado.

Me gustaría derivar las ecuaciones (2) derivando directamente (1). He leído varias respuestas que derivan esto de una manera diferente ( aquí , aquí y aquí ), pero todavía tengo algunas preguntas. En primer lugar, aquí está mi intento de diferenciar con respecto a $\mathbf{q}_2$ .

\begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial q_{2}} & = \frac{\partial}{\partial q_{2}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (γ (t_{2}, q_{2}; t), \dot{γ} (t_{2}, q_{2}; t), t) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial}{\partial q_{2}} L (γ (t_{2}, q_{2}; t), \dot{γ} (t_{2}, q_{2}; t), t) d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial γ} \cdot \frac{\partial γ}{\partial q_{2}} + \frac{\partial L}{\partial \dot{γ}} \cdot \frac{\partial \dot{γ}}{\partial q_{2}} d t . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &= \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d}t. \end{align}$ Ahora,

\frac{\partial \dot{γ}}{\partial q_{2}} = \frac{\partial}{\partial q_{2}} \frac{d γ}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{\partial γ}{\partial q_{2}},

$\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial \mathbf{q}_2} =\frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} \frac{\text{d}\gamma}{\text{d} t} = \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2},$ por lo que podemos integrar por partes para dar

\begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial q_{2}} & = {[\frac{\partial L}{\partial \dot{γ}} \cdot \frac{\partial γ}{\partial q_{2}}]}_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{0}{\underset{⏟}{(\frac{\partial L}{\partial γ} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{γ}})}} \cdot \frac{\partial γ}{\partial q_{2}} d t \\ = {pag}_{2} \cdot \frac{\partial γ}{\partial q_{2}} (t_{2}) . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial \mathbf{q}_2} &= \left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2} \text{d} t\\ &=\mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2). \end{align}$ Para que (2) sea cierto, debemos tener

\frac{\partial γ}{\partial q_{2}} (t_{2}) = I

$\frac{\partial \gamma}{\partial \mathbf{q}_2}(t_2) = \mathbf{I}$ . ¿Es válido intercambiar el orden de evaluación y diferenciación para escribir

\begin{matrix} (3) & {\frac{\partial γ (t_{2}, q_{2}; t)}{\partial q_{2}} |}_{t = t_{2}} = \frac{\partial γ (t_{2}, q_{2}; t_{2})}{\partial q_{2}} = \frac{\partial q_{2}}{\partial q_{2}} = I ? \end{matrix}

$\left.\frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t)}{\partial \mathbf{q}_2}\right|_{t=t_2} = \frac{\partial \gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t_2)}{\partial \mathbf{q}_2} = \frac{\partial \mathbf{q}_2}{\partial \mathbf{q}_2} =\mathbf{I}?\tag{3}$ Si es así, ¿por qué? Si no, ¿de qué otra forma es posible llegar a la ecuación (2) desde aquí?

En segundo lugar, aquí está mi intento de diferenciar con respecto a $t_2$ .

\begin{aligned} \frac{\partial s}{\partial t_{2}} & = \frac{\partial}{\partial t_{2}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (γ (t_{2}, q_{2}; t), \dot{γ} (t_{2}, q_{2}; t), t) d t \\ = L_{2} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial}{\partial t_{2}} L (γ (t_{2}, q_{2}; t), \dot{γ} (t_{2}, q_{2}; t), t) d t \\ = L_{2} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial γ} \cdot \frac{\partial γ}{\partial t_{2}} + \frac{\partial L}{\partial \dot{γ}} \cdot \frac{\partial \dot{γ}}{\partial t_{2}} d t \\ = L_{2} + {[\frac{\partial L}{\partial \dot{γ}} \cdot \frac{\partial γ}{\partial t_{2}}]}_{t_{1}}^{t_{2}} + \int_{t_{1}}^{t_{2}} \underset{0}{\underset{⏟}{(\frac{\partial L}{\partial γ} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{γ}})}} \cdot \frac{\partial γ}{\partial t_{2}} d t \\ = L_{2} + {pag}_{2} \cdot \frac{\partial γ}{\partial t_{2}} (t_{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial s}{\partial t_2} &= \frac{\partial}{\partial t_2} \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t \\ &= \mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial}{\partial t_2} \mathcal{L}(\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t), \dot{\gamma}(t_2, \mathbf{q}_2; t), t)\, \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} +\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\cdot\frac{\partial \dot{\gamma}}{\partial t_2} \text{d}t\\ &= \mathcal{L}_2 +\left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}} \cdot \frac{\partial \gamma}{\partial t_2}\right]_{t_1}^{t_2} + \int_{t_1}^{t_2} \underbrace{\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \gamma} - \frac{\text{d}}{\text{d} t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\gamma}}\right)}_{\mathbf{0}}\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2} \text{d} t\\ &=\mathcal{L}_2 + \mathbf{p}_2\cdot\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) \end{align}$ Para pasar de la primera línea a la segunda usé la regla de Leibniz para diferenciar integrales. Para que la ecuación (2) sea verdadera, debemos tener

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial γ}{\partial t_{2}} (t_{2}) = - {\dot{q}}_{2} . \end{matrix}

$\frac{\partial \gamma}{\partial t_2}(t_2) = -\dot{\mathbf{q}}_2.\tag{4}$ ¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo se puede mostrar?

¡Estaría muy agradecido por cualquier ayuda que alguien pueda brindar!

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Derivada de tiempo parcial de la acción en el caparazón

qmecanico · Answer 1

Sugerencias:

ecuación (3) se sigue de la condición de contorno
$\begin{matrix} (A) & γ (t_{2}, q_{2}; t = t_{2}) = q_{2} . \end{matrix}$ $\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t\!=\!t_2)~=~\mathbf{q}_2. \tag{A}$
ecuación (4) sigue diferenciando la ec. (A) wrt. $t_2$ :
$\begin{matrix} (B) & {\frac{\partial γ (t_{2}, q_{2}; t)}{\partial t_{2}} |}_{t = t_{2}} + {\frac{\partial γ (t_{2}, q_{2}; t)}{\partial t} |}_{t = t_{2}} = 0. \end{matrix}$ $\left.\frac{\partial\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t)}{\partial t_2}\right|_{t=t_2} + \left. \frac{\partial\gamma(t_2, \mathbf{q}_2; t)}{\partial t}\right|_{t=t_2}~=~0.\tag{B}$

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xzd209

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