Equivalencia de derivadas funcionales y parciales

La definición de (integral de la) derivada funcional (al menos una definición que sea lo suficientemente buena para el rigor del nivel de física) es la diferencia de la funcional evaluada en un camino$x(t)$más una variación arbitraria$\epsilon(t)$y el funcional evaluado en el camino, al orden principal en$\epsilon$. En otras palabras

$$\begin{equation} S[x(t)+\epsilon(t)]-S[x]=\int dt \frac{\delta S}{\delta x} \epsilon(t) + O(\epsilon^2) \end{equation}$$ El hecho de que esta definición coloque la derivada funcional dentro de una integral es un reflejo del hecho de que la derivada funcional es una distribución, como una función delta de Dirac, solo está bien definida dentro de una integral.

Ahora define

$$\begin{equation} S_V[x(t)]=\int dt V(x(t)) \end{equation}$$ Entonces $$\begin{equation} S_V[x(t)+\epsilon(t)]=\int dt V(x+\epsilon)=\int dt\left( V(x) + \frac{\partial V}{\partial x}\epsilon+O(\epsilon^2)\right) \end{equation}$$ Comparando con la definición de la derivada funcional, vemos que podemos identificar $$\begin{equation} \frac{\delta S_V}{\delta x} = \frac{\partial V}{\partial x} \end{equation}$$ cual es el enunciado que necesitas.

Así es como lo pienso. Una acción es un funcional: se come una función y devuelve un número. La derivada funcional pregunta: "Para cambios muy pequeños en la función alimentada al funcional, ¿cómo cambian los valores de los funcionales?"

Primero pensemos en una trayectoria,$x(t)$. Esto es lo que le daremos de comer al funcional. Ahora consideremos una familia suave de tales trayectorias,$x_\lambda (t)$. Es decir, para cada$\lambda$tenemos una trayectoria diferente, con pequeños cambios en$\lambda$dando lugar a pequeños cambios en$x_\lambda (t)$. Supongamos, de hecho, que existe una función$\delta x (t)$tal que

$$\delta x (t) = \lim_{\lambda \to 0} \frac{x_\lambda (t) - x_0 (t)}{\lambda}.$$

si cada uno$\lambda$da una trayectoria, cada trayectoria da un número real cuando se alimenta a un funcional, luego la composición da una función

$$S[x_\lambda]: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ .

Esta es solo una función real, por lo que podemos tomar su derivada sin mirarnos el ombligo.

Si$S$es lo suficientemente bueno, entonces hay una función a la que tentadoramente nos referiremos como$\frac{\delta S}{\delta x}$tal que para cualquier familia$x_\lambda$, tenemos

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \int \frac{\delta S}{\delta x} \delta x \,dt.$$

Entonces, tratemos con una "acción" realmente simple que es todo potencial:

$$S[x] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x)(t) \, dt$$

te doy una funcion$x(t)$, lo compones con V, lo integras y sale un número real. Si te doy una familia de$x_\lambda$, entonces tenemos una función

$$S[x_\lambda] = \int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt$$

Cada$\lambda$da una función diferente, y por lo tanto un número diferente. es solo una vainilla$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$función. Tomando su derivada da

$$\left.\frac{d S[x_\lambda]}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} = \frac{d }{d \lambda}\int_{t_i}^{t_f} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} \frac{d }{d \lambda} (V \circ x_\lambda)(t) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \left( \left.\frac{d x_\lambda}{d \lambda}\right|_{\lambda = 0} \right) \, dt\\ = \int_{t_i}^{t_f} (V^\prime \circ x) \delta x \, dt$$

De modo que al mirar nuestra definición vemos que

$$\frac{\delta S}{\delta x} = V^\prime \circ x.$$

Tenga en cuenta que la penúltima línea sigue solo de la regla de la cadena.