Derivación de la corriente de Noether

Question

Derivación de la corriente de Noether

acción
Física
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional

c y f

(Cf. Di Francesco et al, Conformal Field Theory, pp. 40-41) Estoy tratando de derivar la ecuación. (2.142) o

\begin{matrix} (2.142) & d S = \int d^{d} X ω_{a} \partial_{m} j_{a}^{m} \end{matrix}

$\delta S = \int d^d x ~\omega_a~\partial_{\mu}j^{\mu}_a \tag{2.142}$

en el libro CFT de Di Francesco et al. he obtenido la expresión final

d S = \int d^{d} X \partial_{m} ω_{a} [\frac{d F}{d ω_{a}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} Φ)} - \frac{d X^{v}}{d ω_{a}} \partial_{v} Φ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} Φ)} + \frac{d X^{m}}{d ω_{a}} L] +

$\delta S = \int d^d x\,\partial_{\mu} \omega_a \left[\frac{\delta F}{\delta \omega_a} \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} - \frac{\delta x^{\nu}}{\delta \omega_a}\partial_{\nu}\Phi \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} + \frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a}L\right] +$

\begin{matrix} (A) & ω_{a} [\frac{d F}{d ω_{a}} \frac{\partial L}{\partial Φ} + (\partial_{m} \frac{d F}{d ω_{a}}) \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} Φ)} - \partial_{m} (\frac{d X^{v}}{d ω_{a}}) \partial_{v} Φ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} Φ)} + \partial_{m} (\frac{d X^{m}}{d ω_{a}}) L] \end{matrix}

$\omega_a\left[ \frac{\delta F}{\delta \omega_a}\frac{\partial L}{\partial \Phi} + (\partial_{\mu}\frac{\delta F}{\delta \omega_a})\frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} - \partial_{\mu} (\frac{\delta x^{\nu}}{\delta \omega_a})\partial_{\nu}\Phi \frac{\partial L}{\partial(\partial_{\mu}\Phi)} + \partial_{\mu} (\frac{\delta x^{\mu}}{\delta \omega_a})L\right]\tag{A}$

y de hecho los términos multiplicando $\partial_{\mu}\omega_a$ hay exactamente $j^{\mu}$ como se obtiene en la ec. (2.141). El problema que tengo es que los términos se multiplican $\omega_a$ no parecen desaparecer. (Los dos primeros lo hacen como consecuencia de las ecuaciones clásicas de movimiento pero los dos últimos no)

El método que emplea Di Francesco es asumir un parámetro dependiente de la posición $\omega = \omega(x)$ , luego hágalo constante al final.

Entonces, si hacemos $\omega$ independiente de la posición al final (es decir, imponer la transformación rígida), entonces

\begin{matrix} (B) & \partial_{m} ω_{a} = 0 \end{matrix}

$\partial_{\mu}\omega_a = 0\tag{B}$ idénticamente En cuyo caso, nos quedamos con

\begin{matrix} (C) & ω_{a} \int d^{d} X [. .] = 0, \end{matrix}

$\omega_a\int d^dx [..] = 0,\tag{C}$ considerando además una transformación de simetría, donde [..] son los términos que se multiplican

ω

$\omega$ en la expresión anterior.

Así que no estoy seguro de cómo se queda Di Francesco con

\begin{matrix} (2.140) & d S = - \int d^{d} X j_{a}^{m} \partial_{m} ω_{a} . \end{matrix}

$\delta S~=~-\int d^d x~ j^{\mu}_a ~\partial_{\mu} \omega_a \tag{2.140}.$

El párrafo que precede a la ecuación. (2.140) me parece contradictorio (en particular, la primera y la última oración) y si de hecho está imponiendo una transformación rígida, entonces no debería $\partial_{\mu}\omega_a = 0$ ser cero en (2.140)?

Respuestas (3)

Derivación de la corriente de Noether

c y f · Answer 1

De

d S = \int_{D} d^{d} X \partial_{m} ω_{a} [\dots]_{1} + \int_{D} d^{d} X ω_{a} [\dots]_{2} \overset{!}{=} 0,

$\delta S = \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,\partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 + \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,\omega_a [\dots]_2 \overset{!}{=} 0,$ deducimos que para una variación global de los parámetros de transformación de simetría

ω

$\omega$ 's

ω_{a} \int_{D} d^{d} X [\dots]_{2} = 0.

$\omega_a \int_{\mathcal D} \text{d}^d x \,[\dots]_2 = 0.$ Por arbitrariedad del dominio de integración

D

$\mathcal D$ , sigue

[\dots]_{2} = 0

$[\dots]_2 = 0$ idénticamente

Ahora considere una variación local $\omega_a = \omega_a(x)$ . Luego de la demanda de que $\delta S=0$ ,

\int_{D} d^{d} X (\partial_{m} ω_{a} [\dots]_{1} + ω_{a} [\dots]_{2}) = 0.

$\int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, (\partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 + \omega_a [\dots]_2) = 0.$

El punto importante es que como $[\dots]_2$ es independiente de la $\omega$ 's e inferimos la desaparición de este coeficiente restringiendo a la simetría global, deducimos ahora también que

\int_{D} d^{d} X \partial_{m} ω_{a} [\dots]_{1} \overset{!}{=} 0 \overset{!}{=} \int_{D} d^{d} X ω_{a} \partial_{m} j^{m},

$\int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, \partial_{\mu} \omega_a [\dots]_1 \overset{!}{=} 0 \overset{!}{=} \int_{\mathcal D} \text{d}^d x\, \omega_a \partial_{\mu} j^{\mu},$ donde en la última igualdad integramos por partes, simplificamos el resultado en el supuesto físico de que los campos

Φ

$\Phi$ y sus derivados se desvanecen en el espacio-tiempo infinito e hicieron la identificación

[\dots]_{1} \equiv j^{μ}

$[\dots]_1 \equiv j^{\mu}$ . El

ω

$\omega$ la independencia del coeficiente sólo queda clara siguiendo la notación de Di Francesco, ingenuamente parece lo contrario.

Como $\mathcal D$ y el $\omega$ son sin más restricción, obtenemos

\partial_{m} j^{m} = 0.

$\partial_{\mu} j^{\mu} = 0.$

No creo que sea válido suponer que $\delta S=0$ para cualquier dominio $\mathcal D$ . Por ejemplo, considere una teoría de campo escalar libre, que es invariante de traducción. Llevar $\mathcal D$ ser un dominio compacto y considerar una configuración de campo $\phi(x)$ localizado en este dominio. Entonces $S[\phi]\neq 0$ , pero si traducimos el campo $\phi\rightarrow\phi'$ para que el apoyo de $\phi'$ ahora está completamente separado de $\mathcal D$ entonces $S[\phi']=0$ , y por lo tanto $\delta S\neq 0$ .

qmecanico · Answer 2

OP escribe:

El problema que tengo es que los términos [en eq. (A)] multiplicando $\omega_a$ no parecen desaparecer.

Llamemos término en la ec. (A) que multiplica $\omega_a$ para $k^a$ . El término $k^a$ desaparece $^1$ fuera de la cáscara
$\begin{matrix} (K) & k^{a} = 0 \end{matrix}$ $k^a~=~0 \tag{K}$ debido a la suposición principal en el teorema de Noether : la acción tiene un global (es decir, $x$ -independiente) simetría. $^2$
ecuación (K), la ecuación de OP. (A), y la definición (2.141) de $j^{\mu}_a$ entonces juntos implican que la ec. (2.140) se mantiene fuera de la cáscara para cualquier $x$ -dependiente $\omega^a(x)$ .
Finalmente integre la ec. (2.140) por partes para deducir la ecuación buscada. (2.142).

--

$^1$ Si permitimos términos de frontera, el término $k^a$ podría contener términos de divergencia total. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

$^2$ Por simetría se entiende una simetría fuera de capa. Una simetría on-shell es una noción vacía.

afilar · Answer 3

Se me ocurrió esta idea: Supongamos $\omega_a$ es independiente de $x_\mu$ , entonces

\begin{aligned} 0 = d S & = \int d^{d} X (ω_{a} término) + (\partial_{m} ω_{a} término) \\ = \int d^{d} X (ω_{a} término) \end{aligned}

$\begin{align} 0 = \delta S &= \int d^d x (\omega_a \text{ term}) + (\partial_\mu\omega_a \text{ term}) \\ &= \int d^d x (\omega_a \text{ term}) \end{align}$

Entonces

\int d^{d} X (ω_{a} término) = 0

$\int d^d x (\omega_a \text{ term} ) = 0$

Entonces podemos decir con seguridad

d S = \int d^{d} X (\partial_{m} ω_{a} término)

$\delta S = \int d^d x (\partial_\mu \omega_a\text{ term})$ Para transformación rígida (

\partial_{μ} ω_{a} = 0

$\partial_\mu \omega_a =0$ ).

(En realidad no estoy seguro de esto. Solo un pensamiento...)

Derivación de la corriente de Noether

c y f

Respuestas (3)

c y f

petar simidzija

qmecanico

afilar

Buscar un Lagrangiano específico

Ecuaciones de Euler-Lagrange a partir de un Lagrangiano complejo

Principio de acción estacionaria vs Ecuación de Euler-Lagrange

¿La integral en la fórmula de acción con respecto al principio de acción estacionaria representa un área o una longitud?

¿Por qué la variación de simetría δsqδsq\delta_s q es diferente de la variación ordinaria δqδq\delta q?

Cierta confusión con respecto a los detalles de la formulación geométrica de la mecánica lagrangiana y el teorema de Noether

Demostrar que la densidad lagrangiana LL\mathscr{L}, que genera un conjunto dado de ecuaciones de Euler-Lagrange, no es única [duplicar]

¿Dependencia temporal del Lagrangiano de una partícula libre?

Principio de Hamilton: lograr ecuaciones de Hamilton

Aclarando algunos detalles simples de los tipos de simetrías involucradas en el teorema de Noether