Valor esperado del hamiltoniano dependiente del tiempo

Mi enfoque sería: primero determinar la evolución temporal de$\hat{x}(t)$y$\hat{p}(t)$. Para$\hat{x}$tienes

$$\frac{d}{dt}\hat{x}_H(t) = i[H_H,\hat{x}_H(t)] = \frac{i}{2m} [\hat{p}_H(t)^2,\hat{x}_H(t)] = \frac{\hat{p_H(t)}}{m}$$ y para $p$tienes (asumiendo $0\leq t \leq T$) $$\frac{d}{dt}\hat{p}_H(t) = i[H_H(t),\hat{p}_H(t)] = -m\omega_0^2 \hat{x}_H(t) + F_0\sin(\Omega t)$$ Estas son ecuaciones diferenciales acopladas, que puedes desacoplar derivándolas una vez más con respecto al tiempo y realizando una sustitución. Por ejemplo,

$$\frac{d^2}{dt^2} \hat{x}_H(t) = \frac{1}{m} \frac{d}{dt} \hat{p}_H = -\omega_0^2 \hat{x}_H(t)+\frac{F_0}{m}\sin(\Omega t)$$ donde sustituí $\frac{d}{dt} \hat{p}_H(t)$por su ecuación de movimiento encontrada anteriormente. También puede obtener una ecuación como esta para $\hat{p}_H(t)(t)$, que les dejo..

Ahora, estas ecuaciones se pueden resolver utilizando su método favorito, siempre que les proporcione las condiciones de contorno adecuadas. Tenga en cuenta que solo necesita una condición de contorno para$x$y$p$(cual es$x_H(0)=\hat{x}_S$y$p_H(0)=\hat{p}_S$Le dará alguna expresión para$\hat{x}_H(t)$y$\hat{p}_H(t)$en términos de$\hat{x}_S$y$\hat{p}_S$. El hamiltoniano de Heisenberg se determina fácilmente sustituyendo$\hat{x}_H(t)$y$\hat{p}_H(t)$.

Con esa expresión en la mano deberías poder encontrar$\langle H(t)\rangle$(tenga en cuenta que debe considerar los casos en los que$t<0$y$t>T$por separado).

EDITAR: La prueba con respecto a mi declaración a continuación: en la imagen de Schroedinger, el hamiltoniano es

$$\hat H_S=\frac{\hat{p}_S^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_0^2\hat{x}_S^2-\hat{x}_SF_0\sin(\Omega t)$$

y la imagen de Heisenberg está dada por$H_H = U^\dagger(t) H_S U(t)$. Entonces, si toma, por ejemplo, el primer término, obtiene:

$$U^\dagger(t) \frac{\hat{p}_S^2}{2m}U(t) =\frac{1}{2m} (U^\dagger(t) \hat{p}_S U^\dagger(t))(U(t)\hat{p}_SU(t)) =\frac{1}{2m} \hat{p}_H(t)^2$$

Puedes hacer lo mismo con los otros términos. Al final, simplemente reemplazas efectivamente$p_S\rightarrow p_H(t)$y lo mismo para$x$.

Intenté calcular el operador de evolución en su caso hace unos años. Quería mostrar que tal hamiltoniano nunca tiene un estado cuántico en ningún momento. La solución que encontré es que dicho modelo solo tiene un estado coherente en un tiempo infinito. Todavía no sé acerca de los tiempos intermedios, incluso si la solución a continuación le permite calcular lo que quiera en cualquier momento. Se puede encontrar un método de perturbación en Landau (sobre mecánica cuántica). Además, el resultado a continuación se puede encontrar en el libro de Gardiner y Zoller sobre ruido cuántico si no recuerdo mal. Finalmente, el estudio más antiguo que encontré sobre esta cuestión es un análisis de Carruthers y Nieto (1965); utilizan la función de Green para mostrar que, en un tiempo infinito, un oscilador armónico cuántico se describe mediante un estado coherente.

He usado el llamado método Lie Algebraic (vea Wei y Norman 1963 para una buena revisión; creo que mi hoja de trabajo es independiente) porque es un método general que le permite calcular el operador de evolución con bastante facilidad para Hamiltoniano simple. Este método no es tan conocido.

Antes de continuar con la derivación, permítame dar las referencias (si falta alguna, hágamelo saber) que usé

• Carruthers, P. y Nieto, M. (1965). Estados coherentes y el oscilador cuántico forzado. Revista estadounidense de física, 33(7), 537. doi:10.1119/1.1971895
• Wei, J. y Norman, E. (1963). Solución algebraica de mentira de ecuaciones diferenciales lineales. Revista de Física Matemática, 4(4), 575. doi:10.1063/1.1703993
• Lo, CF (1991). Generación de estados numéricos desplazados y comprimidos por un oscilador dependiente del tiempo impulsado general. Revisión física A, 43(1), 404–409. doi:10.1103/PhysRevA.43.404

Ahora mi archivo LaTeX (no intenté editarlo para la pantalla actual, por lo que podría ser el caso de que algunos comentarios sean totalmente estúpidos):

Entonces, supongamos que tratamos el siguiente hamiltoniano

$$H=\hslash \omega \hat{a}^{+}\hat{a}+f\left( t\right) \hat{a}^{+}+f^{\ast }\left( t\right) \hat{a}$$ para cualquier función dada $f$y $f^{\ast }$dependiendo del tiempo y con $\hat{ a}$y $\hat{a}^{+}$la aniquilación y creación bosónica en frecuencia $\omega$operador de modo La evolución temporal unitaria de este hamiltoniano se puede escribir, según el método de resolución algebraica de Lie $H\left( t_{ \text{f}}\right) =\hat{U}^{+}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) .H\left( t_{\text{i}}\right) .\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)$con el propagador (ver \cite{Wei1963} para el primer tratamiento matemático, y \cite{Lo1993} para el ejemplo del oscilador cuántico): $$\hat{U}\left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =e^{-\mathbf{i}\hat{a}^{+} \hat{a}\omega \left( t_{\text{f}}-t_{\text{i}}\right) }e^{\hat{a}^{+}\alpha \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\hat{a}\alpha ^{\ast }\left( t_{ \text{f}},t_{\text{i}}\right) }e^{-\left\vert \alpha \left( t_{\text{f}},t_{ \text{i}}\right) \right\vert ^{2}/2}e^{\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i} }\right) }$$ con $$\alpha \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =\int_{t_{\text{i}}}^{t_{ \text{f}}}f\left( t\right) e^{\mathbf{i}\omega t}\dfrac{dt}{\mathbf{i} \hslash }\text{ and }\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right) =- \mathbf{i}\int_{t_{i}}^{t_{f}}\text{Im}\left\{ \alpha \left( \tau \right) \dfrac{\partial }{\partial \tau }\alpha ^{\ast }\left( \tau \right) \right\} d\tau$$ actuando como dos parámetros para la transformación unitaria.

Ahora, nótese el caso particular cuando ambos$t_{\text{i}}$y$t_{\text{f}}$tienden al infinito,$\gamma \left( t_{\text{f}},t_{\text{i}}\right)$promedios a cero y:

$$\fbox{$\hat{U}\left( +\infty ,-\infty \right) =e^{\hat{a}^{+}\alpha }e^{- \hat{a}\alpha ^{\ast }}e^{-\left\vert \alpha \right\vert ^{2}/2}=e^{\hat{a} ^{+}\alpha -\hat{a}\alpha ^{\ast }}=\hat{D}\left( \alpha \right) $}$$ dónde $\alpha =f\left( \omega \right) /\mathbf{i}\hslash$es el $\omega$componente de la transformada de Fourier de $f\left( t\right)$, dividido por el tamaño de la caja cuántica $\hslash$. La evolución unitaria de un sistema cuántico impulsado por una fuerza clásica corresponde al operador de desplazamiento de estados coherentes, como se encuentra en \cite{Carruthers1965}. Luego, durante un tiempo de interacción suficientemente largo, el oscilador armónico cuántico monomodo se transforma en el oscilador cuasiclásico.

Prueba usando el método algebraico de Lie

Primero, reescribe el hamiltoniano.$H$como

$$H\left( t\right) =a_{0}\hat{a}^{+}\hat{a}+a_{+}\left( t\right) \hat{a} ^{+}+a_{-}\left( t\right) \hat{a}$$ dónde $a_{0}$no depende del tiempo. Luego, observe que los operadores $\hat{ 1}$, $\hat{a}^{+}\hat{a}$, $\hat{a}^{+}$y $\hat{a}$forman un álgebra cerrada en el sentido de Lie, \emph{ie} con respecto a sus conmutadores: $$\left[ \hat{a}^{+}\hat{a},\hat{a}^{+}\right] =\hat{a}^{+}~;~\left[ \hat{a} ^{+}\hat{a},\hat{a}\right] =-\hat{a}~;~\left[ \hat{a},\hat{a}^{+}\right] = \hat{1}$$ Luego, observe que la ecuación de Schr\"{o}dinger $$H\left( t\right) \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle =\mathbf{i} \hslash \dfrac{\partial }{\partial t}\left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle \Rightarrow \left\vert \Psi \left( t\right) \right\rangle = \hat{U}\left( t\right) \left\vert \Psi \left( 0\right) \right\rangle$$ aceptar el operador unitario $\hat{U}\left( t\right)$como la solución dependiente del tiempo con $\hat{U}\left( 0\right) =\hat{1}$. Tenemos así la siguiente ecuación: $$H\left( t\right) \hat{U}\left( t\right) =\mathbf{i}\hslash \dfrac{\partial }{ \partial t}\hat{U}\left( t\right) \Rightarrow H \left(t\right)=\mathbf{i} \hslash\frac{\partial U}{\partial t}U^{+}\left(t\right)$$ correspondiente a la de Schr\"{o}dinger. La segunda expresión se obtiene a partir de la primera multiplicando por $U^{+}$A la derecha. Ahora, debido a que todos los operadores que aparecen en $H\left( t\right)$formar un álgebra de Lie, la forma general de $\hat{U}\left( t\right)$es : $$\hat{U}\left( t\right) =e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a} }e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{\alpha _{-}\left( t\right) \hat{a}}e^{\alpha \left( t\right) \hat{1}}$$ donde las funciones $\alpha \left( t\right)$, $\alpha _{0}\left( t\right)$, $\alpha _{+}\left( t\right)$y $\alpha _{-}\left( t\right)$hay que encontrar. Ten cuidado, estos $\alpha$no tiene nada que ver con el $\alpha$definido en el texto principal. Para ello, calculemos primero $$\begin{eqnarray*} \dfrac{\partial \hat{U}}{\partial t}\hat{U}^{+}&=&\left[ \dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}\hat{a}^{+}\hat{a}+\dfrac{\partial \alpha }{\partial t}\right] +\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a} ^{+}\hat{a}} \\ &&+\dfrac{\partial \alpha _{-}}{\partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}\hat{a} e^{-\alpha _{+}\left( t\right) \hat{a}^{+}}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) \hat{a}^{+}\hat{a}} \\ &=&\left[ \hat{a}^{+}\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{0}}{\partial t}+\dfrac{ \partial \alpha }{\partial t}+\hat{a}^{+}\dfrac{\partial \alpha _{+}}{ \partial t}e^{\alpha _{0}\left( t\right) }-\alpha _{+}\left( t\right) \dfrac{ \partial \alpha _{-}}{\partial t}+\hat{a}\dfrac{\partial \alpha _{-}}{ \partial t}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) }\right] \end{eqnarray*}$$ con la ayuda de las siguientes relaciones: $$e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}=\hat{a}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a} }e^{-\lambda }~;~e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}\hat{a}^{+}=\hat{a} ^{+}e^{\lambda \hat{a}^{+}\hat{a}}e^{\lambda }\text{ and }e^{\lambda \hat{a} ^{+}}\hat{a}=\left( \hat{a}-\lambda \right) e^{\lambda \hat{a}^{+}}$$ más la definición de operador unitario $UU^{+}=\hat{1}$. Podemos usar de manera equivalente el conocido lema de Hadamard, que establece que $$e^{\hat{S}}\hat{A}e^{-\hat{S}}=\hat{A}+\left[\hat{S},\hat{A}\right]+\frac{1}{ 2!}\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]+\frac{1}{3!}\left[\hat{S },\left[\hat{S},\left[\hat{S},\hat{A}\right]\right]\right]+\ldots$$ y las relaciones de conmutación. Por lo general, para grupos simples, este método es más rápido porque la serie solo tiene componentes nulos después de algunas iteraciones. inyectando lo anterior $\left(\partial \hat{U} /\partial t\right)U^{+}$en la ecuación de Schr\"{o}dinger $H\left( t\right)=\mathbf{i}\hslash \left(\partial \hat{U}/\partial t\right)U^{+}$, tenemos : $$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{0}=a_{0} \\ \dot{\alpha}-\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha}_{-}=0 \\ \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{-}e^{-\alpha _{0}\left( t\right) }=a_{-}\left( t\right) \\ \mathbf{i}\hslash \dot{\alpha}_{+}e^{\alpha _{0}\left( t\right) }=a_{+}\left( t\right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha _{0}=a_{0}\left( t-t_{\text{i}}\right) /\mathbf{i}\hslash \\ \\ \alpha _{-}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{-}\left( \tau \right) e^{a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash } \\ \\ \alpha _{+}\left( t\right) =\displaystyle\int_{t_{\text{i}}}^{t}a_{+}\left( \tau \right) e^{-a_{0}\tau }\dfrac{d\tau }{\mathbf{i}\hslash } \end{array} \right.$$ dónde $\dot{\alpha}_{0}=\partial \alpha _{0}/\partial t$, $\dot{\alpha}=$... e igualando cada operador consigo mismo en cada lado de la ecuación de Schr\"{o}dinger. Suponemos que $t_{\text{i}}$es el tiempo inicial, donde $\alpha _{0}\left( t=t_{\text{i}}\right) =0$, $\alpha \left( t_{\text{i}}\right) =0$, ... porque el operador de evolución unitaria debe verificar $\hat{U}\left( t=0\right) =\hat{U}\left( t,t\right) =\hat{1}$, por única vez $\hat{U} \left( t\right)$o las dos veces $\hat{U}\left( t_{\text{i}},t_{\text{f} }\right)$operador de evolución unitaria. Ahora encontremos el factor de fase $\alpha \left( \tau \right)$. En virtud de una integración por partes, tenemos: $$\begin{eqnarray*} \alpha \left( t\right) &=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\alpha _{+}\left( \tau \right) \dot{\alpha}_{-}\left( \tau \right) d\tau =\left[ \alpha _{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t}-\int_{t_{ \text{i}}}^{t}\dot{\alpha}_{+}\left( \tau \right) \alpha _{-}\left( \tau \right) d\tau \\ &=&\int_{t_{\text{i}}}^{t}\dfrac{\alpha _{+}\left( t\right) \dot{\alpha} _{-}\left( t\right) -\dot{\alpha}_{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) }{2}dt+\dfrac{1}{2}\left[ \alpha _{+}\left( t\right) \alpha _{-}\left( t\right) \right] _{t_{\text{i}}}^{t} \end{eqnarray*}$$ para una forma más conveniente. Si esta última forma puede ser más compleja que las anteriores, parece más fácil de evaluar en nuestro caso, porque $\alpha _{-}\left( t\right) =-\alpha _{+}^{\ast }\left( t\right)$(esto es cierto siempre que el hamiltoniano elegido sea hermítico), de modo que: $$\alpha \left( t\right) =-\mathbf{i}\int_{t_{\text{i}}}^{t}\text{Im}\left\{ \alpha _{+}\left( \tau \right) \dot{\alpha}_{+}^{\ast }\left( \tau \right) \right\} d\tau -\dfrac{1}{2}\left[ \left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right) \right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{i}}}^{t}$$ que es la forma utilizada en el texto principal. Ahora porque $t_{\text{i}}$es el tiempo inicial, $\alpha _{+}\left( t_{\text{i}}\right) =0$, y por lo tanto $\left[ \left\vert \alpha _{+}\left( \tau \right) \right\vert ^{2}\right] _{t_{\text{ i}}}^{t}=$ $\left\vert \alpha _{+}\left( t\right) \right\vert ^{2}$. Observe que la expresión anterior es solo una de las varias posibilidades para expresar $\alpha\left(t\right)$. tenemos en general $$\begin{eqnarray*} \alpha\left(t\right)&=&-\int\alpha_{+}d\alpha_{+}^{*}=-\int\alpha_{-}^{*}d \alpha_{-} \\ &=&-\int\alpha_{-}d\alpha_{-}^{*}+\left\vert\alpha_{-}\right\vert^{2}=-\int \alpha_{+}^{*}d\alpha_{-}+\left\vert\alpha_{+}\right\vert^{2} \end{eqnarray*}$$ para este término de fase.