¿Existe una transformación unitaria tal que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelva simétrico real?

Question

¿Existe una transformación unitaria tal que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelva simétrico real?

Siente mi agujero negro

La ecuación de Schroödinger dependiente del tiempo se da como (con $\hbar=1$ ):

i \frac{d}{d t} ψ (t) = H (t) ψ (t),

$i\dfrac{d}{dt}\psi(t)=H(t)\psi(t)\ ,$ dónde

ψ

$\psi$ es un vector columna normalizado y

H (t)

$H(t)$ es una matriz hermítica con elementos dependientes del tiempo.

Dejar $\Psi(t)=U(t)\psi(t)$ , dónde $U(t)$ es unitario. Se puede demostrar que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en términos de $\Psi$ Se puede escribir como:

i \frac{d}{d t} Ψ (t) = [tu H {tu}^{- 1} - i tu \dot{({tu}^{- 1})}] Ψ (t),

$i\dfrac{d}{dt}\Psi(t)=\left[UHU^{-1}-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}\right]\Psi(t)\ ,$ donde el overdot indica la derivada temporal de los elementos. ¿Es posible encontrar un

U

$U$ tal que este nuevo hamiltoniano

U H U^{- 1} - i U \dot{(U^{- 1})}

$UHU^{-1}-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ es real simetrico?

Se puede encontrar una solución simple cuando $H$ es 2 x 2, suponiendo que $U$ es diagonal. Pero, este método falla para casos de dimensiones superiores. ¿Se puede hacer bajo algunas condiciones especiales? ¿Se puede hacer si $U$ es invertible, pero no necesariamente unitario?

He confirmado que es posible para el caso de 3x3 haciendo un cálculo de fuerza bruta usando la forma paramétrica para una matriz unitaria especial de 3x3.

K_inverso

Elegir

U

$U$ con cada columna son los estados propios de energía de

H

$H$ . Esencialmente, diagonalice el hamiltoniano.

Siente mi agujero negro

@K_inverse eso solo funciona si

U

$U$ no depende del tiempo, pero aquí el adicional

- i U \dot{(U^{- 1})}

$-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ el término estropea eso.

Noiralef

Espero que funcione, ya que unitario

U

$U$ tiene

n^{2}

$n^2$ grados de libertad y haciendo

U H U^{†} + i \dot{U} U^{†}

$UHU^\dagger + i \dot U U^\dagger$ real es solo

n^{2} / 2 - n / 2

$n^2 / 2 - n / 2$ condiciones. Pero no tengo una prueba.

Noiralef

O mejor,

n^{2} - 1

$n^2 - 1$ porque una fase global no hace nada. Tenga en cuenta que la diagonal unitaria

U

$U$ Sólo tiene

n - 1

$n-1$ dof, por lo que no debería funcionar en ningún

n > 2

$n>2$ .

Siente mi agujero negro

@Noiralef Pensé que el argumento dof solo funciona si las variables desconocidas están en un sistema lineal. Si los elementos de

U

$U$ no son funciones biyectivas, entonces ese argumento puede fallar fácilmente.

Noiralef

¡Si, eso es correcto! Solo quería decir: no puedo probar que sea posible, pero parece que podría serlo.

Respuestas (1)

¿Existe una transformación unitaria tal que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelva simétrico real?

Elegir $U$ con cada columna son los estados propios de energía de $H$ . Esencialmente, diagonalice el hamiltoniano.
@K_inverse eso solo funciona si $U$ no depende del tiempo, pero aquí el adicional $-iU\dot{\left(U^{-1}\right)}$ el término estropea eso.
Espero que funcione, ya que unitario $U$ tiene $n^2$ grados de libertad y haciendo $UHU^\dagger + i \dot U U^\dagger$ real es solo $n^2 / 2 - n / 2$ condiciones. Pero no tengo una prueba.
O mejor, $n^2 - 1$ porque una fase global no hace nada. Tenga en cuenta que la diagonal unitaria $U$ Sólo tiene $n-1$ dof, por lo que no debería funcionar en ningún $n>2$ .
@Noiralef Pensé que el argumento dof solo funciona si las variables desconocidas están en un sistema lineal. Si los elementos de $U$ no son funciones biyectivas, entonces ese argumento puede fallar fácilmente.
¡Si, eso es correcto! Solo quería decir: no puedo probar que sea posible, pero parece que podría serlo.

parker · Answer 1

Sí, esto se puede hacer en general de una manera trivial. Dejar $U$ ser $V^\dagger$ , dónde $V$ es el operador de evolución temporal. La ecuación de Schrödinger da que $i \frac{dV}{dt} = H V$ , entonces

tu H {tu}^{†} - i tu \frac{d {tu}^{†}}{d t} = V^{†} H V - i V^{†} \frac{d V}{d t} = V^{†} H V - V^{†} H V = 0,

$U H U^\dagger - i U \frac{dU^\dagger}{dt} = V^\dagger H V - i V^\dagger \frac{dV}{dt} = V^\dagger H V - V^\dagger H V = 0,$ y la matriz cero es ciertamente simétrica real. Esto funciona independientemente de si el hamiltoniano depende del tiempo.

¿Existe una transformación unitaria tal que el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelva simétrico real?

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K_inverso

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Noiralef

Noiralef

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parker

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