Ecuación de Schrödinger para hamiltoniano dependiente del tiempo y conjugación

La ecuación de Schrödinger para el operador de evolución dice:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = -\frac{i}{\hbar}HU$$

donde para un hamiltoniano dependiente del tiempo que no necesita conmutar consigo mismo en diferentes tiempos definimos

$$U(t,t_0)=Te^{-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} H(t')dt'}$$

dónde$T$es el operador de ordenamiento temporal.

Si ahora se toma la transpuesta conjugada de la primera ecuación:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}U^\dagger H \tag{1}$$

mientras que si en cambio uno mira$U^\dagger$(la transpuesta conjugada de la definida$U$), y toma su derivada obtenemos:

$$\frac{\partial U^\dagger}{\partial t} = +\frac{i}{\hbar}H U^\dagger \tag{2}$$ Obviamente, los dos son equivalentes solo si el hamiltoniano conmuta consigo mismo en diferentes momentos, en cuyo caso el ordenamiento temporal es redundante y $[U,H]=0$.

Si no conmutan cual de los dos es el correcto?

Notas a tener en cuenta:

1. Aunque técnicamente mi primera suposición sería que la segunda línea de pensamiento es correcta, no estoy seguro ya que no estoy seguro de que$U^\dagger$es equivalente a tomar$i\to-i$en la definición anterior de$U$. ¿No querríamos$U^\dagger$a ser definido usando tiempo anti-ordenamiento?
2. Si el primer punto es correcto, ¿qué implica sobre la derivada del tiempo? ¿Significa que al tomar la derivada$H$debe ir a la derecha de$U^\dagger$?
3. Tenga en cuenta que poner$H$a la derecha de$U^\dagger$, es atractivo si uno quiere obtener las expresiones habituales para la ecuación de Schrödinger y la ecuación de Liouville - Von Neumann en la imagen de interacción. Si este no es el caso, no se pueden usar, por ejemplo, las expresiones habituales para la imagen de interacción, mientras se toma un hamiltoniano dependiente del tiempo como el hamiltoniano imperturbable, como se hace entre bastidores, por ejemplo aquí (en la última sección ) .