Evolución temporal de la función de onda en QM

Question

Evolución temporal de la función de onda en QM

Física
hamiltoniano
evolución del tiempo
mecánica cuántica
deberes-y-ejercicios

rick pan

Recientemente he estado estudiando dinámica cuántica con la mecánica cuántica moderna de Sakurai, pero no entiendo por qué el operador de evolución temporal se escribe como

tu (t, t_{0}) = Exp [\frac{- i H (t - t_{0})}{ℏ}]

$U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ para el hamiltoniano independiente del tiempo, mientras que

tu (t, t_{0}) = Exp [- (\frac{i}{ℏ}) \int_{t_{0}}^{t} d t^{'} H (t^{'})]

$U(t,t_0)=\exp\left[-\left(\frac{i}{\hbar}\right)\int_{t_0}^tdt'H(t')\right]$ para dependiente del tiempo (caso de desplazamiento). Mi idea es que, dado que podemos expandir la función de onda de Taylor en

t = t_{0}

$t=t_0$

\begin{aligned} ψ (X, t) & = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} ({(\frac{\partial}{\partial t})}^{norte} ψ (X, t) |_{t = t_{0}}) (t - t_{0})^{norte} \\ = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} ({(\frac{- i H}{ℏ})}^{norte} ψ (X, t)) (t - t_{0})^{norte} \\ = {mi}^{\frac{- i H (t - t_{0})}{ℏ}} ψ (X, t) \end{aligned}

$\begin{align}\psi(x,t)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n\psi(x,t)\bigg|_{t=t_0}\right) (t-t_0)^n\\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\left(\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n\psi(x,t)\right)(t-t_0)^n\\ &=e^{\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}}\psi(x,t) \end{align}$

solo necesitamos saber el valor de $H$ en $t=t_0$ . Si esto es cierto, entonces $U(t,t_0)=\exp\left[\frac{-iH(t-t_0)}{\hbar}\right]$ debe sostener si $H$ depende del tiempo o no. ¿Qué he hecho mal aquí?

DanielSank

¿De dónde sacas eso?

n^{th}

$n^\text{th}$ derivada es

(- i H / ℏ)^{n}

$(-i H / \hbar)^n$ ?

rick pan

Desde

H ψ = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ

$H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , tenemos

H = i ℏ \frac{\partial}{\partial t}

$H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , entonces

{(\frac{- i H}{ℏ})}^{n} = {(\frac{\partial}{\partial t})}^{n}

$\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Corrígeme si me equivoco, gracias.

Ján Lalinský

@Rick Pan, la ecuación de la derivada

\partial_{t} ψ = 1 / (i ℏ) H ψ

$\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ se mantiene solo para

ψ

$\psi$ . No necesariamente se cumple para sus derivados.

rick pan

@JánLalinský Gracias por el comentario. Si suponemos que los estados propios de

H

$H$ forma una base completa, entonces deberíamos poder desarrollar sus derivadas con la base completa. Si este es el caso, la relación también debería ser válida para sus derivados, ¿verdad?

Ján Lalinský

@RickPan, no, la relación no se cumple por la razón que señaló yuggib: los coeficientes de expansión también son funciones del tiempo. Operador de momento canónico

p_{x}

$p_x$ es siempre expresable como

- i ℏ \partial_{x}

$-i\hbar\partial_x$ , cualquiera que sea la función

ψ

$\psi$ puede ser, pero el hamiltoniano no siempre viene dado por

i ℏ \partial_{t}

$i\hbar\partial_t$ ; solo es válido para funciones especiales: solución de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo.

Respuestas (1)

Evolución temporal de la función de onda en QM

¿De dónde sacas eso? $n^\text{th}$ derivada es $(-i H / \hbar)^n$ ?
Desde $H\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$ , tenemos $H=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ , entonces $\left(\frac{-iH}{\hbar}\right)^n=\left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n$ . Corrígeme si me equivoco, gracias.
@Rick Pan, la ecuación de la derivada $\partial_t \psi =1/(i\hbar)H\psi$ se mantiene solo para $\psi$ . No necesariamente se cumple para sus derivados.
@JánLalinský Gracias por el comentario. Si suponemos que los estados propios de $H$ forma una base completa, entonces deberíamos poder desarrollar sus derivadas con la base completa. Si este es el caso, la relación también debería ser válida para sus derivados, ¿verdad?
@RickPan, no, la relación no se cumple por la razón que señaló yuggib: los coeficientes de expansión también son funciones del tiempo. Operador de momento canónico $p_x$ es siempre expresable como $-i\hbar\partial_x$ , cualquiera que sea la función $\psi$ puede ser, pero el hamiltoniano no siempre viene dado por $i\hbar\partial_t$ ; solo es válido para funciones especiales: solución de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo.

yuggib · Answer 1

yuggib

La primera observación es que, a un nivel riguroso, no se le permite hacer todas esas manipulaciones libremente. Sin embargo, supongamos por un momento que lo haría, ya que todo es extremadamente regular y se comporta bien.

La hipótesis de partida (omitida) es que

i \partial_{t} ψ (t) = H (t) ψ (t) .

$i\partial_t\psi(t)=H(t)\psi(t)\; .$ Si iteramos la derivación, no obtenemos simplemente

H (t)^{2} ψ (t)

$H(t)^2\psi(t)$ , sino más bien (esta es una aplicación simple de la regla del producto, que también funciona en este caso)

(i \partial_{t})^{2} ψ (t) = i \dot{H} (t) ψ (t) + H (t)^{2} ψ (t) .

$(i\partial_t)^2\psi(t)=i\dot{H}(t)\psi(t)+H(t)^2\psi(t)\; .$ Como podemos ver fácilmente, aquí es donde falla el argumento del OP, ya que la derivada de

H (t)

$H(t)$ no desaparece en general para los operadores dependientes del tiempo.

Sin embargo, quiero señalar nuevamente que esta no es la forma adecuada de tratar con este tipo de ecuaciones dependientes del tiempo. Sin embargo, la forma adecuada es muy complicada y requiere mucho análisis funcional avanzado. Si tiene curiosidad, el método más común se debe a T.Kato y se puede encontrar, por ejemplo, en este libro .

rick pan

Gracias por la respuesta, pero tengo curiosidad de que si ampliamos

\partial_{t} ψ

$\partial_t \psi$ con estados propios de

H

$H$ (que generalmente se supone que forma una base completa), ¿no obtenemos

H^{2} ψ = (i \partial_{t})^{2} ψ

$H^2\psi=(i\partial_t)^2 \psi$ ?

yuggib

Solo podría usar estados propios para un fijo

t

$t$ , pero no serían estados propios, en general, para otro

t^{'} \neq t

$t'\neq t$ (desde

H (t^{'}) \neq H (t)

$H(t')\neq H(t)$ ), y tampoco estados propios para

\dot{H} (t)

$\dot{H}(t)$ . Realmente, esta no es la buena manera de pensar en eso... ;-)

rick pan

Gracias por la respuesta. Es cierto que los estados propios pueden cambiar con respecto a

t

$t$ , pero estoy ampliando la serie a un precio fijo

t

$t$ , ¿cómo es que eso no es aplicable?

yuggib

Dejar

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ ser un vector propio de

H (t)

$H(t)$ ; sin embargo en la expansión tienes

\dot{H} (t) ψ_{n, t}

$\dot{H}(t)\psi_{n,t}$ , y

ψ_{n, t}

$\psi_{n,t}$ no es un vector propio para él.

rick pan

¿Qué pasa si consideramos

H^{2} ψ = H (i \partial_{t} ψ) = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H^2\psi=H(i\partial_t\psi)=i\partial_t(i\partial_t\psi)$ , ¿por qué es esto incorrecto?

yuggib

¿Por qué en el mundo

H

$H$ ser igual a la derivada del tiempo? La derivada temporal es solo una expresión abreviada para

\partial_{t} ψ (t) = lim_{h \to 0} h^{- 1} (ψ (t + h) - ψ (t))

$\partial_t \psi(t)=\lim_{h\to 0}h^{-1}(\psi(t+h)-\psi(t))$ (siempre que exista el límite). Una familia

(H (t))_{t \in R}

$(H(t))_{t\in\mathbb{R}}$ es una familia de operadores autoadjuntos. En tu primera igualdad, solo estás usando la propiedad que suponemos

ψ (t)

$\psi(t)$ ser solución de una ecuación diferencial, a saber

i \partial_{t} ψ = H ψ

$i\partial_t\psi=H\psi$ . Ahora bien, eso no implica, de ninguna manera, que

i \partial_{t} ψ

$i\partial_t\psi$ sería una solución de la misma ecuación también.

rick pan

Dejar

i \partial_{t} ψ = \sum c_{k} ψ_{k}

$i\partial_t\psi=\sum c_k \psi_k$ dónde

ψ_{k}

$\psi_k$ son vectores propios de

H

$H$ (por completitud de estados propios). Entonces

H (i \partial_{t} ψ) = \sum c_{k} H ψ_{k} = \sum c_{k} (i \partial_{t}) ψ_{k} = i \partial_{t} (i \partial_{t} ψ)

$H(i\partial_t\psi)=\sum c_k H \psi_k=\sum c_k (i\partial_t)\psi_k=i\partial_t(i\partial_t \psi)$ . ¿Hice algo mal?

yuggib

@RickPan Sí, en general por un tiempo dependiente

H (t)

$H(t)$ , los coeficientes

c_{k}

$c_k$ dependería tanto del tiempo como de las funciones

ψ_{k}

$\psi_k$ ...créanme, esto no es cierto/correcto ;-)

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Ján Lalinský

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