Solución general de estados de hamiltonianos dependientes del tiempo

Question

Solución general de estados de hamiltonianos dependientes del tiempo

Física
hamiltoniano
evolución del tiempo
mecánica cuántica
ecuación de Schroedinger
berry-pancharatnam-fase

Anónimo

Dado un hamiltoniano dependiente del tiempo que conmuta en diferentes momentos, tenemos el operador de evolución temporal dado por

tu (t, 0) = Exp [- (\frac{i}{h}) \int_{0}^{t} d t^{'} H (t^{'})],

$\mathcal{U}(t,0) = \text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{h}\bigg)\int_{0}^{t}dt' H(t')\bigg],$ para algún estado general

| Ψ, t_{0} = 0 ⟩

$| \Psi, t_0 = 0 \rangle$ en

t = 0

$t = 0$ entonces obtenemos:

Ψ (X, t) = ⟨ X | tu (t, 0) | Ψ, t_{0} = 0 ⟩ = ⟨ X | tu (t, 0) \sum_{norte} | norte ⟩ ⟨ norte | Ψ ⟩ = \sum_{norte} ⟨ X | norte ⟩ ⟨ norte | Ψ ⟩ Exp [- (\frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{t} d t^{'} {mi}_{norte} (t^{'})] = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} Exp [- (\frac{i}{ℏ}) \int_{0}^{t} d t^{'} {mi}_{norte} (t^{'})] = \sum_{norte} C_{norte} ψ_{norte} {mi}^{i θ_{norte} (t)}

$\Psi(x,t) = \langle x| \mathcal{U}(t,0)| \Psi, t_0 =0 \rangle = \langle x | \mathcal{U(t,0) \sum_n |n\rangle \langle n | \Psi \rangle} \\ = \sum_{n} \langle x | n \rangle \langle n | \Psi \rangle \text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{\hbar}\bigg)\int_{0}^{t}dt' E_n (t')\bigg] = \sum_{n} c_{n} \psi_n\text{exp}\bigg[-\bigg(\frac{i}{\hbar}\bigg)\int_{0}^{t}dt' E_n (t')\bigg] = \sum_n c_n \psi_n e^{i \theta_n(t)}$

Pregunta: ¿Alguien puede ver por qué esto no concuerda con lo que Griffiths (en el libro "Introducción a la mecánica cuántica", página 372) obtuvo en el archivo adjunto a continuación, donde comienza a demostrar el teorema adiabático? él entiende eso $c_n$ y $\psi_n$ ambas son funciones del tiempo. ¿Dónde me he equivocado en lo que he escrito? Gracias.

Respuestas (2)

Solución general de estados de hamiltonianos dependientes del tiempo

Adán · Answer 1

Adán

La derivación del OP asume que los estados propios del hamiltoniano no dependen del tiempo, lo cual es una suposición fuerte, no realizada por Griffin.

De hecho, en general, los estados propios instantáneos de $\hat H(t)$ dependerá de $t$ .

Un contraejemplo, donde la derivación del OP está bien, es el caso de una partícula libre con una masa dependiente del tiempo:

\hat{H} (t) = \frac{{\hat{PAG}}^{2}}{2 metro (t)} .

$\hat H(t) = \frac{\hat P^2}{2m(t)}.$

usuario101311

De acuerdo, gracias, pero estoy tratando de derivar correctamente la última ecuación en el archivo adjunto usando el operador de evolución temporal. Indique si lo siguiente es correcto al considerar ahora los estados propios de energía que son una función del tiempo.

usuario101311

Ψ (X, t) = ⟨ X | tu (t, 0) | Ψ, t_{0} = 0 ⟩ = ⟨ X | tu (t, 0) \sum | norte (t ⟩ ⟨ norte (t) | Ψ ⟩ = \sum ⟨ X | Exp [- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} H (t^{'})] | norte (t) ⟩ ⟨ norte (t) | Ψ ⟩ = \sum ⟨ X | norte (t) ⟩ ⟨ norte (t) | Ψ ⟩ Exp [- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} {mi}_{norte} (t^{'})] = \sum_{norte} C_{norte} (t) ψ_{norte} (t) {mi}^{i θ_{norte} (t)} .

$\Psi(x,t) = \langle x| \mathcal{U}(t,0)|\Psi, t_0 = 0 \rangle = \langle x| \mathcal{U}(t,0)\sum |n(t \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \\= \sum \langle x| \text{exp} \bigg[- \frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}dt'H(t')\bigg] | n(t) \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \\= \sum \langle x | n(t) \rangle \langle n(t)| \Psi \rangle \text{exp}[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0} dt' E_{n}(t')] = \sum_{n}c_{n}(t)\psi_{n}(t)e^{i \theta_n(t)}.$

Campo de indicador emergente sorprendido · Answer 2

El hecho de que el hamiltoniano cambie con el tiempo implica que los estados propios de energía del sistema están variando. Esto se debe a que si no variaran, probablemente no serían estados propios de energía del hamiltoniano en evolución. Como ya ha escrito, la corrección en sus ecuaciones debe ser

| norte ⟩ \to | norte (t) ⟩

$|n\rangle\ \to |n(t)\rangle\$

C_{norte} \to C_{norte} (t)

$c_n \to c_n(t)$

Además, la prueba no asume que el hamiltoniano se desplaza en diferentes momentos. Aunque su suposición no está completa, sus pasos son correctos. En este caso, el operador de evolución temporal debe ser de la forma,

tu (t, 0) = T mi X pag [- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} H (t^{'})]

$U(t,0) = T\space exp\Bigg[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0}dt'H(t')\Bigg]$ donde T indica que es una exponencial ordenada en el tiempo. Al actuar sobre un estado propio de energía, este operador se convierte en,

tu (t, 0) = mi X pag [- \frac{i}{ℏ} \int_{0}^{t} d t^{'} {mi}_{norte} (t^{'})]

$U(t,0) = exp\Bigg[-\frac{i}{\hbar}\int^{t}_{0}dt'E_n(t')\Bigg]$

que da la forma correcta al final.

Solución general de estados de hamiltonianos dependientes del tiempo

Anónimo

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Adán

usuario101311

usuario101311

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