Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

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Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

Física
operadores
hamiltoniano
evolución del tiempo
mecánica cuántica
oscilador armónico

Oiale

Cuando estudié QM, solo trabajo con hamiltonianos independientes del tiempo. En este caso el operador de evolución unitaria tiene la forma

\hat{tu} = {mi}^{- \frac{i}{ℏ} H t}

$\hat{U}=e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}$ que se sigue de esta ecuacion

i ℏ \frac{d}{d t} \hat{tu} = H \hat{tu} .

$i\hbar\frac{d}{dt}\hat{U}=H\hat{U}.$ Y en este caso, hamiltoniano en la imagen de Heisenberg (

H_{H}

$H_{H}$ ) es exactamente lo mismo que el hamiltoniano en la imagen de Schrödinger (

H_{S}

$H_{S}$ ), es decir, conmuta con

\hat{U}

$\hat{U}$ . Ahora tengo un hamiltoniano que depende explícitamente del tiempo. Específicamente,

H_{S} = \frac{{\hat{pags}}^{2}}{2 metro} + \frac{1}{2} metro ω {\hat{q}}^{2} - F_{0} pecado (ω_{0} t) \hat{q} .

$H_{S}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega \hat{q}^2-F_0 \sin(\omega_0t)\hat{q}.$

Y en mi problema necesito calcular $H_H$ (Hamiltoniano en el cuadro de Heisenberg).

He encontrado que la ecuación diferencial para $\hat{U}$ (Lo mencioné anteriormente) generalmente tiene una solución en la forma (con $U(0)=1$ )

tu (t) = 1 + ξ \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} + ξ^{2} \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} {\int_{0}^{t}}^{'} H (t^{″}) d t^{″} + ξ^{3} \int_{0}^{t} H (t^{'}) d t^{'} {\int_{0}^{t}}^{'} H (t^{″}) d t^{″} {\int_{0}^{t}}^{″} H (t^{‴}) d t^{‴} + . . .

$U(t)=1+\xi\int\limits_0^t H(t')\,dt'+ \xi^2\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''+\xi^3\int\limits_0^t H(t')\,dt'\int\limits_0^t' H(t'')\,dt''\int\limits_0^t'' H(t''')\,dt'''+...$

Entonces mis preguntas son:

hay otras formas de calcular $\hat{U}$ , podría dar un enlace o hablarme de ellos?
Si conoce la forma de la solución para mi caso, por favor dígame.
Si conoce algún artículo o artículos de documentos sobre este tema, por favor envíeme un enlace también.

marca mitchison

¿Puedes explicar qué es exactamente lo que quieres hacer? En general, este tipo de problema es más manejable en la imagen de interacción generada por

H_{0} = \frac{p^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} q^{2}

$H_0 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2$ , ya que conoces los estados propios de

H_{0}

$H_0$ . Luego puede calcular la evolución de los observables o estados utilizando la serie de Dyson , que es esencialmente lo que ha calculado. Su perturbación es periódica en el tiempo, por lo que también puede encontrar útil la teoría de Floquet .

jjcale

Dado que su hamiltoniano es periódico en el tiempo, este enlace puede ser útil: en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory

Oiale

quiero calcular

E = ⟨ \hat{H} ⟩

$E=\langle\hat{H}\rangle$ en el momento

T

$T$ es decir

⟨ ψ (t) | \hat{H} | ψ (t) ⟩

$\langle \psi(t)|\hat{H}| \psi(t) \rangle$ o en la imagen de Heisenberg

⟨ ψ | \hat{H} (t) | ψ ⟩

$\langle \psi |\hat{H}(t)| \psi \rangle$ . Para esto necesito operador de evolución para calcular

\hat{H (t)}

$\hat{H(t)}$ , como pienso.

Benjamín

Prueba leyendo sobre las expansiones de Magnus, Fer y Wilcox: sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157308004092 repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/32076/…

Hans Harhoff

Una situación muy parecida a esta se resuelve en estos apuntes que pueden ser de utilidad.

Durd3nT

Una pregunta ingenua: en el caso anterior de un hamiltoniano con un impulso periódico, uno podría simplemente llevar a cabo el

t

$t$ -Integrar en el operador de evolución temporal analíticamente y evitar la ordenación temporal, etc., ¿correcto?

Respuestas (1)

Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

¿Puedes explicar qué es exactamente lo que quieres hacer? En general, este tipo de problema es más manejable en la imagen de interacción generada por $H_0 = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 q^2$ , ya que conoces los estados propios de $H_0$ . Luego puede calcular la evolución de los observables o estados utilizando la serie de Dyson , que es esencialmente lo que ha calculado. Su perturbación es periódica en el tiempo, por lo que también puede encontrar útil la teoría de Floquet .
Dado que su hamiltoniano es periódico en el tiempo, este enlace puede ser útil: en.wikipedia.org/wiki/Floquet_theory
quiero calcular $E=\langle\hat{H}\rangle$ en el momento $T$ es decir $\langle \psi(t)|\hat{H}| \psi(t) \rangle$ o en la imagen de Heisenberg $\langle \psi |\hat{H}(t)| \psi \rangle$ . Para esto necesito operador de evolución para calcular $\hat{H(t)}$ , como pienso.
Prueba leyendo sobre las expansiones de Magnus, Fer y Wilcox: sciencedirect.com/science/article/pii/S0370157308004092 repositori.uji.es/xmlui/bitstream/handle/10234/32076/…
Una situación muy parecida a esta se resuelve en estos apuntes que pueden ser de utilidad.
Una pregunta ingenua: en el caso anterior de un hamiltoniano con un impulso periódico, uno podría simplemente llevar a cabo el $t$ -Integrar en el operador de evolución temporal analíticamente y evitar la ordenación temporal, etc., ¿correcto?

Olaf · Answer 1

Sí, estás en el camino correcto. La serie que tienes ahí se llama serie de Dyson .

Primero tenga en cuenta que el $n$ El término parece

{tu}_{norte} = {(- \frac{i}{ℏ})}^{norte} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} H (t_{1}) \dots H (t_{norte})

$U_n = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n} H(t_1)\cdots H(t_n)$

El orden de los hamiltonianos es importante, ya que trabajamos con operadores. Cada término de la serie posee una buena simetría, lo que nos permite escribir:

\begin{aligned} {tu}_{norte} = {(- \frac{i}{ℏ})}^{norte} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t_{norte - 1}} d t_{norte} H (t_{1}) \dots H (t_{norte}) = \frac{{(- \frac{i}{ℏ})}^{norte}}{norte!} \int_{0}^{t} d t_{1} \dots \int_{0}^{t} d t_{norte} T [H (t_{1}) \dots H (t_{norte})] \end{aligned}

$\begin{align} U_n = \left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n \int_0^t dt_1 \cdots\int_0^{t_{n-1}} dt_{n}\ H(t_1)\cdots H(t_n) = \frac{\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n}{n!}\int_0^t dt_1 \cdots\int_0^t dt_{n} \mathcal{T}\left[H(t_1)\cdots H(t_n)\right] \end{align}$

Sucedieron dos cosas: primero, "sobrecontamos" igualando los límites superiores a $t$ en todas las integrales. Esto es compensado por el factor de $\frac{1}{n!}$ . Tendrás que convencerte de por qué se necesita este factor ;)

En segundo lugar, por este cambio de área de integración estropeamos la ordenación de los hamiltonianos en el proceso. Aquí es donde el símbolo de ordenamiento temporal $\mathcal{T}$ entra. Básicamente, este operador asegura que los hamiltonianos siempre se ordenen de la manera correcta. por ejemplo para $n=2$ opera como

\begin{aligned} T [H (t_{1}) H (t_{2})] = {\begin{cases} H (t_{1}) H (t_{2}) & t_{2} > t_{1} \\ H (t_{2}) H (t_{1}) & t_{2} < t_{1} \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{T}[H(t_1) H(t_2)] = \begin{cases} H(t_1) H(t_2) & t_2 > t_1\\ H(t_2) H(t_1) & t_2 < t_1 \end{cases} \end{align}$

Juntando todo tenemos

tu (t, t^{'}) = 1 + \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{{(- \frac{i}{ℏ})}^{norte}}{norte!} \int_{t^{'}}^{t} d t_{1} \dots \int_{t^{'}}^{t} d t_{norte} T [H (t_{1}) \dots H (t_{norte})]

$U(t, t') = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-\frac{i}{\hbar}\right)^n}{n!} \int_{t'}^t dt_1 \cdots\int_{t'}^t dt_n \mathcal{T}[H(t_1)\cdots H(t_n)]$ Con frecuencia, esto se denota simbólicamente como

tu (t, t^{'}) = T Exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t^{'}}^{t} H (t_{1}) d t_{1})

$U(t, t') = \mathcal{T}\exp\left(-\frac{i}{\hbar} \int_{t'}^t H(t_1) dt_1\right)$ Se entiende que esta notación representa la serie de potencias.

Creo que querías escribir esto para ordenar el tiempo: $H(t_2) H(t_1) t_2 > t_1$ y $H(t_1)H(t_2) t_2 < t_1$ . Si no estoy equivocado.

Operador de evolución para hamiltoniano dependiente del tiempo

Oiale

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jjcale

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Olaf

L.K.

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