Evolución temporal con un hamiltoniano dependiente del tiempo [cerrado]

En realidad, en este caso específico, se le ayuda un poco porque la dependencia del tiempo está contenida en un término proporcional a la matriz unitaria.

$$\hat H = E_0e^{t/\omega_0}\hat I + E_1\left(\begin{array}{cc} 0&1 \\ 1&0 \end{array}\right) \, .$$ A continuación, puede realizar el cambio de base independiente del tiempo definido por $$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc} 1&1 \\ 1&-1\end{array}\right)$$ eso tomará $\hat H$a $$\hat h= U^{-1}\cdot \hat H \cdot U= \left(\begin{array}{cc} e^{t/\omega_0}E_0+E_1& 0 \\ 0&e^{t/\omega_0}E_0-E_1 \end{array}\right)$$ La ecuación de Schrödinger para cada componente de esta base está desacoplada y tiene la forma: $$i\hbar \frac{d}{dt}\vert\phi_{\pm}(t)\rangle = \left(e^{t/\omega_0}E_0\pm E_1\right)\vert\phi_{\pm}(t)\rangle$$ con solucion $$\vert \phi_{\pm}(t)\rangle=C_\pm e^{-i(\pm E_1 t +e^{t/\omega_0}E_0\omega_0)/\hbar}$$ y puede volver a la base original. Puedes comprobar que esta solución NO es de la forma $e^{-i t H/\hbar}$precisamente porque, como apunta @EmilioPisanty, $U(t)=e^{-i t H/\hbar}$solo es válido para hamiltonianos independientes del tiempo.

La identidad$\hat{U} = e^{- \frac{i}{\hbar} \hat{H} t}$se cumple solo para un hamiltoniano independiente del tiempo, lo que no se aplica aquí. En cambio, el propagador aquí está dado por la exponencial ordenada en el tiempo$\hat{U}(t_2,t_1) = \mathcal T \left[e^{- \frac{i}{\hbar} \int_{t_1}^{t_2} \hat{H}(t) \mathrm d t}\right]$, que no es particularmente útil en esta situación.

En su situación, le quedan muy pocas opciones además de la solución directa de las ecuaciones de Schrödinger acopladas,

$$\begin{align} i\hbar \dot a(t) & = E_0e^{t/w_0} a(t) + E_1 b(t), \\ i\hbar \dot b(t) & = E_1 a(t) + E_0e^{t/w_0} b(t). \end{align}$$ Este es difícil de resolver, pero puede comenzar configurando $E_1=0$, en cuyo caso ambos $a$y $b$obedecer la ecuación diferencial $$i\hbar \dot c(t) = E_0e^{t/w_0} c(t),$$ cuya solución es $$c(t)= c(0)e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar},$$ para que puedas montar en eso y definir $a(t) = \alpha(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$y $b(t) = \beta(t) e^{-i e^{t/w_0}E_0 w_0/\hbar}$, para lo cual la ecuación de Schrödinger se simplifica a $$\begin{align} i\hbar \dot \alpha(t) & =E_1 \beta(t) , \\ i\hbar \dot \beta(t) & = E_1 \alpha(t) , \end{align}$$ cuyas soluciones son $$\begin{align} \alpha(t) & = \alpha(0) \cos(E_1t/\hbar) -i \beta(0) \sin(E_1t/\hbar)\\ \beta(t) & = -i\alpha(0) \sin(E_1t/\hbar) + \beta(0) \cos(E_1t/\hbar). \end{align}$$ Cualquier cosa más allá de eso dependerá exactamente de lo que quiera hacer con esas soluciones.