¿Por qué el operador de evolución temporal es unitario?

1er punto de vista:

Si acepta la ecuación de Schrödinger

$$\mathrm i\hbar\, \partial_t \psi = \hat H \psi$$ con auto-adjunto $\hat H$, entonces tu ecuación 1 sigue directamente y $\hat U$es unitario.

2do punto de vista:

La evolución temporal debe tener las siguientes propiedades:

• $\hat U$debe preservar la norma para que se conserve la probabilidad.
• $\hat U$debe ser invertible para que se conserve la información.

Esas dos propiedades juntas implican que$\hat U$es unitario. Si le sumas el hecho de que$\hat U(t)$debe ser un grupo, su ecuación 1 sigue e implica la ecuación de Schrödinger con autoadjunto$\hat H$.

La suposición es que la función de onda es una amplitud de probabilidad. En particular, es un vector que está normalizado. En la notación de Dirac, esta es la declaración:

$$\langle \psi |\psi\rangle = 1.$$ Esto se puede hacer más concreto con: $$\begin{align} \mathrm{ordinary\ vectors\ } &\sum_{i} \psi^\star_i \psi_i = 1, \\ \mathrm{wave\ functions\ } &\int \psi^\star(x) \psi(x) \operatorname{d}x = 1,\ \mathrm{or} \\ \mathrm{even\ wave\ functionals\ } & \int \left[\mathcal{D}\phi(x)\right] \Psi^\star[\phi(x)] \Psi[\phi(x)] = 1. \end{align}$$ No se preocupe si el último es críptico: es para cuando se trata de la teoría cuántica de campos.

El punto importante es que la función de onda está limitada a existir solo en una parte del espacio vectorial; como la forma en que los vectores unitarios están confinados a estar en la superficie de una esfera. Las transformaciones que respetan esta restricción se denominan unitarias . Por lo tanto, esa restricción significa que cada transformación permitida de$|\psi\rangle$es unitario. Rotaciones, traslaciones espaciales, reflexiones, etc., todas deben respetar el requisito de que la función de onda permanezca normalizada.

El resto se deriva del requisito de que la operación de traducción del tiempo es un cambio continuo en$|\psi\rangle$y que la mecánica cuántica se corresponde con la mecánica clásica en promedio (ver: el principio de correspondencia ). Eso significa que$\hat{H}$, el generador de traslaciones de tiempo en la mecánica cuántica, tiene que corresponder con el generador de traslaciones de tiempo en la mecánica clásica, el hamiltoniano.

Hay una excepción que conozco al requisito de unitaridad. Ese es el tiempo de reflexiones. La reflexión del tiempo es antiunitaria . Para obtener más información, consulte el artículo de Wikipedia sobre$T$-simetría .

Un enfoque intuitivo sería notar que el adjunto$U^{\dagger}(t)$es lo mismo que$U(-t)$.

Así, si$U(t)|\psi(0) \rangle = |\psi(t)\rangle$

Y$U^{\dagger}(t)|\psi(0) \rangle = |\psi(-t) \rangle$

Entonces$U^{\dagger}(t)U(t) |\psi(0)\rangle = |\psi(0)\rangle$

Significado$U^{\dagger}U = I$, el requisito de un operador unitario.