Pregunta rápida sobre la teoría de perturbaciones

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Pregunta rápida sobre la teoría de perturbaciones

Física
hamiltoniano
mecánica cuántica
teoría de la perturbación
ecuación de Schroedinger

usuario44840

Supongamos que tenemos una partícula en un pozo de potencial infinito, con $V(x) = 0,\space 0< x < a$ e infinito en todas partes.

Ahora supongamos que tenemos una perturbación en el LHS del pozo: $V_1(x) = v, \space 0 < x < \frac{a}{2}$ .

Según la teoría de la perturbación de primer orden, todos los niveles de energía se desplazan en la misma cantidad:

Δ mi = ⟨ {mi}_{norte} | v | {mi}_{norte} ⟩ = \frac{v}{2}

$\Delta E = \langle E_n|v|E_n\rangle = \frac{v}{2}$

Bien, todo está bien.

Considerando la función de onda perturbada:

ψ_{norte} = ϕ_{norte} + \sum_{norte \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | V_{1} | ϕ_{norte} ⟩}{{mi}_{norte} - {mi}_{k}}

$\psi_n = \phi_n + \sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k}$

¿Cómo hago uso de la condición de que $v << E_2 - E_1$ para mostrar los resultados anteriores es correcto?

usuario44840

no es

\sum_{n \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | V_{1} | ϕ_{n} ⟩}{E_{n} - E_{k}} = 0

$\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} = 0$ ? Dado que los estados son ortogonales?

Ruslán

V_{1}

$V_1$ cambios

| ϕ_{n} ⟩

$|\phi_n\rangle$ , por lo que, en general, el producto ya no es ortogonal a

| ϕ_{k} ⟩

$|\phi_k\rangle$ .

usuario44840

V_{1} (x) = v

$V_1 (x) = v$ es una constante, por lo que creo que se puede sacar del sujetador y ket

Ruslán

El producto punto no tiene ningún sentido si solo se integra en una parte del espacio de configuración. En este caso, no obtendrías ninguna ortogonalidad. Solo intenta verificar si, por ejemplo,

\sin 2 π x

$\sin 2\pi x$ es ortogonal a

\sin π x

$\sin \pi x$ en

x \in [0, 1]

$x\in[0,1]$ . No lo es, aunque en

x \in [0, π]

$x\in[0,\pi]$ es.

davidmh

V_{1}

$V_1$ no es constante, es

v

$v$ para

x < a / 2

$x<a/2$ y

0

$0$ de lo contrario. Esto significa que la integral de

ϕ_{k}

$\phi_k$ con

ϕ_{n}

$\phi_n$ solo va de

0

$0$ a

a / 2

$a/2$ y la ortogonalidad no está garantizada.

usuario44840

Ok, usé los límites incorrectos. Sí,

ϕ_{1}

$\phi_1$ y

ϕ_{2}

$\phi_2$ no son ortogonales, ya que los límites son de 0 a a/2.

usuario44840

¿Puedo decir que desde

v << E_{2} - E_{1}

$v << E_2 - E_1$ ,

\sum_{n \neq k} \frac{⟨ ϕ_{k} | V_{1} | ϕ_{n} ⟩}{E_{n} - E_{k}} \approx 0

$\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} \approx 0$ ? Entonces la energía esperada

⟨ E ⟩ = ⟨ ϕ_{n} | H + V_{1} | ϕ_{n} ⟩ = E_{n} + \frac{v}{2}

$\langle E \rangle = \langle \phi_n |H + V_1|\phi_n\rangle = E_n + \frac{v}{2}$ que da el mismo cambio que el anterior?

xebtl

¿Por qué esperas poder mostrarlo solo con esa expresión? Tendría que resolver todo el problema y luego demostrar que, en orden lineal, el resultado del PT es correcto...

Respuestas (1)

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no es $\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} = 0$ ? Dado que los estados son ortogonales?
$V_1$ cambios $|\phi_n\rangle$ , por lo que, en general, el producto ya no es ortogonal a $|\phi_k\rangle$ .
$V_1 (x) = v$ es una constante, por lo que creo que se puede sacar del sujetador y ket
El producto punto no tiene ningún sentido si solo se integra en una parte del espacio de configuración. En este caso, no obtendrías ninguna ortogonalidad. Solo intenta verificar si, por ejemplo, $\sin 2\pi x$ es ortogonal a $\sin \pi x$ en $x\in[0,1]$ . No lo es, aunque en $x\in[0,\pi]$ es.
$V_1$ no es constante, es $v$ para $x<a/2$ y $0$ de lo contrario. Esto significa que la integral de $\phi_k$ con $\phi_n$ solo va de $0$ a $a/2$ y la ortogonalidad no está garantizada.
Ok, usé los límites incorrectos. Sí, $\phi_1$ y $\phi_2$ no son ortogonales, ya que los límites son de 0 a a/2.
¿Puedo decir que desde $v << E_2 - E_1$ , $\sum_{n \neq k} \frac{\langle \phi_k|V_1|\phi_ n\rangle}{E_n - E_k} \approx 0$ ? Entonces la energía esperada $\langle E \rangle = \langle \phi_n |H + V_1|\phi_n\rangle = E_n + \frac{v}{2}$ que da el mismo cambio que el anterior?
¿Por qué esperas poder mostrarlo solo con esa expresión? Tendría que resolver todo el problema y luego demostrar que, en orden lineal, el resultado del PT es correcto...

xebtl · Answer 1

De hecho, es un problema interesante el que planteas, así que déjame tratar de ampliar un poco mi comentario.

En general, el programa para “demostrar que la teoría de la perturbación (PT) [de primer orden] funciona” es el siguiente:

Resolver el problema perturbado exactamente, dando soluciones $H\psi_n = E_n\psi_n$ .
Diferenciar los resultados por el parámetro de perturbación, es decir, calcular $dE_n/dv$ y $d\psi_n(x)/dv$ .
Compare esto con los resultados de PT $E_n^{(1)}$ y $\psi_n^{(1)}(x)$ .

En el presente caso, esto no será posible analíticamente. Escriba un Ansatz para la solución completa, dividida en dos regiones, (L) $V(x)=v$ , y (R) $V(x)=0$ . Como en el pozo de potencial infinito regular, para cada región puede eliminar una de las soluciones linealmente independientes por las condiciones de contorno $\psi_L(0) = \psi_R(a) = 0$ .

Te quedan tres parámetros (una “amplitud” para cada región, y la energía) y tres relaciones para fijarlos ( $\psi_R(a/2) = \psi_L(a/2)$ , $\psi'_R(a/2) = \psi'_L(a/2)$ , $\int\!dx\,\psi(x) = 1$ ). Bastante simple en principio, pero no solucionable analíticamente en este caso porque la energía viene dada por una ecuación trascendental implícita.

La razón por la que digo que su problema es interesante es que, a medida que aumenta $v$ , cambiará el carácter de los estados inferiores. En el caso no perturbado, todos los estados son "oscilatorios", aunque cortados en los bordes. En el caso perturbado, esto seguirá siendo cierto en el lado derecho, pero una vez $v$ es lo suficientemente grande, obtendrá estados que decaen exponencialmente a la izquierda. Una conjetura sensata sería que PT se rompe para estos estados.

Como para $V_{nm} = \langle\phi_n|V|\phi_m\rangle$ y ortogonalidad: La $\phi$ son funciones pares/impares con respecto al centro del pozo. Dividir la integral $\langle\phi_n|\phi_m\rangle = \int_0^a\!dx\phi_n\phi_m = L + R$ en dos partes correspondientes al lado izquierdo y derecho. Como usted dice, $L + R = 0$ ; y $V_{nm} = vL$ . Si $n$ y $m$ tienen la misma paridad, $L=R$ y entonces $V_{nm} = 0$ ; pero si la paridad es diferente, $L=-R$ y $V_{nm}$ es distinto de cero.

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