Motivación para las probabilidades de transición en la mecánica cuántica

Question

Motivación para las probabilidades de transición en la mecánica cuántica

Física
hamiltoniano
probabilidad
espacio de hilbert
mecánica cuántica
teoría de la perturbación

Alex

En el área de la teoría de la perturbación dependiente del tiempo, si tenemos

\hat{H} (t) = {\hat{H}}_{0} + \hat{V} (t) .

$\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t).$ La ecuación de Schrödinger es

i ℏ \frac{d | Ψ (t) ⟩}{d t} = ({\hat{H}}_{0} + \hat{V} (t)) | Ψ (t) ⟩

$i \hbar \frac{d | \Psi(t) \rangle}{dt} = (\hat{H}_0 + \hat{V}(t))| \Psi(t) \rangle$ donde en la imagen de Shrodinger tenemos

| Ψ (t) ⟩ = \sum_{norte} C_{norte} (t) {mi}^{\frac{- i {mi}_{norte}}{ℏ}} | ψ_{norte} ⟩

$|\Psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t)e^{\frac{-iE_n}{\hbar}}| \psi_n \rangle$ En la imagen de interacción tenemos

i ℏ \frac{d | Ψ (t) ⟩_{I}}{d t} = {\hat{V}}_{I} (t) | Ψ (t) ⟩_{I}

$i \hbar \frac{d | \Psi(t) \rangle_{I}}{dt} = \hat{V}_{I}(t) | \Psi(t) \rangle_{I}$ dónde

| Ψ (t) ⟩_{I} = \hat{tu} (t, t_{i}) | Ψ (t_{i}) ⟩_{I}

$| \Psi(t) \rangle_{I} = \hat{U}(t,t_i)| \Psi(t_i) \rangle_I$ por lo tanto obtenemos

i ℏ \frac{d \hat{tu} (t, t_{i})}{d t} = {\hat{V}}_{i} (t) {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) .

$i \hbar \frac{d \hat{U}(t, t_i)}{dt} = \hat{V}_i(t)\hat{U}_{I}(t,t_i).$

Pregunta: Pregunta breve, ¿por qué se sigue que la probabilidad de transición correspondiente a una transición desde un estado inicial no perturbado $| \psi_i \rangle$ a otro estado imperturbable $| \psi_f \rangle$ es

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \hat{U}_{I}(t,t_i)| \psi_i \rangle |^2$ también por qué la probabilidad de transición en términos de los coeficientes de expansión está dada por

{PAG}_{i F} (t) = | C_{F}^{0} + C_{F}^{1} + . . . |^{2} ?

$P_{if}(t) = |c_{f}^{0}+c_{f}^{1} +...|^2?$ ¿Son estos postulados?

Gracias.

Respuestas (1)

Motivación para las probabilidades de transición en la mecánica cuántica

mhham · Answer 1

Pregunta 1 :

En primer lugar, recordemos el vínculo entre Schrödinger y la imagen de interacción:

| ψ (t) ⟩_{I} = {mi}^{i \hat{H_{0}} t / ℏ} | ψ (t) ⟩_{S} y {\hat{O}}_{I} (t) = {mi}^{i \hat{H_{0}} t / ℏ} {\hat{O}}_{S} (t) {mi}^{- i \hat{H_{0}} t / ℏ}

$|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H_0}t/\hbar} |\psi(t)\rangle_S \quad \text{and} \quad \hat{O}_I(t) = e^{i\hat{H_0}t/\hbar} \hat{O}_S(t) e^{-i\hat{H_0}t/\hbar}$

Si entiendo bien tu notación. $| \psi_f \rangle$ y $| \psi_i \rangle$ se les dan estados no perturbados (es decir, vectores propios de $\hat{H}_0$ con valores propios $E_f$ y $E_i$ ) dónde $f$ significa final y $i$ significa inicial.

Bueno, de hecho, ya has escrito la respuesta a tu pregunta :).

Me explico: El operador $\hat{U}_I(t,t_i)$ es el operador de evolución en la imagen de interacción. Por definición cuando lo aplicas al estado inicial $|\psi(t_i)\rangle_I = | \psi_i \rangle$ , lo hace evolucionar al estado en el momento $t$ en la imagen de interacción, es decir $| \psi(t) \rangle_I$ :

| ψ (t) ⟩_{I} = {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ (t_{i}) ⟩_{I} = {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩

$| \psi(t) \rangle_I = \hat{U}_I(t,t_i) | \psi(t_i) \rangle_ I = \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle$

Ahora, la probabilidad de medir el estado $| \psi(t) \rangle_I$ como $| \psi_f \rangle$ es también por definición el producto escalar al cuadrado:

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (t) ⟩_{I} |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \psi(t)\rangle_I|^2$

Por eso :

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2$

Como observación, esto es igual a:

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (t) ⟩_{S} |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | {mi}^{- i ({\hat{H}}_{0} + {\hat{V}}_{i} (t)) t / ℏ} | ψ_{i} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \psi(t) \rangle_S|^2 = |\langle \psi_f|e^{-i(\hat{H}_0+\hat{V}_i(t))t/\hbar}| \psi_i \rangle|^2$

Pregunta 2

Usando el comentario anterior:

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (t) ⟩_{S} |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f| \psi(t) \rangle_S|^2$

{PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | \sum_{norte} C_{norte} (t) {mi}^{- i {mi}_{norte} t / ℏ} | ψ_{norte} ⟩ |^{2}

$P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \sum_n c_n(t) e^{-iE_nt/\hbar} | \psi_n \rangle|^2$

{PAG}_{i F} (t) = | C_{F} (t) {mi}^{- i {mi}_{F} t / ℏ} |^{2} = | C_{F} (t) |^{2}

$P_{if}(t) = |c_f(t) e^{-iE_ft/\hbar}|^2 = |c_f(t)|^2$

Gracias por tu respuesta. Dos preguntas: ¿Por qué tienes $| \psi(t_i) \rangle_{I} = | \psi_i \rangle$ , es $|\psi_i \rangle$ ¿No es un estado estacionario en la imagen de Shrodinger? En caso de que el estado equivalente en la imagen de interacción no sea $| \psi(t_i) \rangle_{I} = e^{\frac{i \hat{H}_{0} t_i}{\hbar}}| \psi_i \rangle$ ?
También cuando declaras "la probabilidad de medir el estado $| \psi(t) \rangle_{I}$ como $| \psi_{f} \rangle$ es por definición ${PAG}_{i F} (t) = | ⟨ ψ_{F} | ψ (t) ⟩_{I} |^{2} "$ $P_{if}(t) = |\langle \psi_f | \psi(t) \rangle_{I}|^2"$ Una vez más es $\langle \psi_f |$ no es un estado en la imagen de Shrodinger? ¿También la regla de Born que usaste se mantiene para cualquier imagen?
@Alex Creo que se deduce de $|\psi(t)\rangle_I = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i(t)\rangle_{S} = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}e^{-\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i \rangle = |\psi_i\rangle$ y todos los postulados son válidos para todas las imágenes según tengo entendido. Mejor confirmar con una autoridad superior.
Respondiendo a su primera pregunta: está tratando de calcular la probabilidad de transición entre $|\psi_i\rangle$ y $|\psi_f\rangle$ . Por lo tanto, el estado inicial desde el que está comenzando es $|\psi_i\rangle$ . Por otro lado, la notación $|\psi(t_i)\rangle$ corresponde al estado en el tiempo inicial $t_i$ . De ahí la igualdad en la imagen de Schrödinger. Como comentario, $|\psi_i\rangle$ es un estado estacionario del hamiltoniano imperturbable $\hat{H}_0$ y no $\hat{H}(t)$ a priori
Ahora, tienes razón cuando dices que en la imagen de interacción el equivalente de $|\psi_i\rangle$ es $e^{i\hat{H}_0 t/\hbar} |\psi_i\rangle$ . Por lo tanto, si considera todo en la imagen de interacción: ${PAG}_{i F} (t) = |_{I} ⟨ ψ_{F} | {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩_{I} |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | {mi}^{- i {\hat{H}}_{0} t / ℏ} {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) {mi}^{i {\hat{H}}_{0} t_{i} / ℏ} | ψ_{i} ⟩ |^{2}$ $P_{if}(t) = |_I\langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle_I|^2 = |\langle \psi_f | e^{-i\hat{H}_0 t/\hbar} \hat{U}_I(t,t_i) e^{i\hat{H}_0 t_i/\hbar} | \psi_i \rangle|^2$ ${PAG}_{i F} (t) = | {mi}^{i ({mi}_{F} t - {mi}_{i} t_{i}) / ℏ} ⟨ ψ_{F} | {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩ |^{2} = | ⟨ ψ_{F} | {\hat{tu}}_{I} (t, t_{i}) | ψ_{i} ⟩ |^{2}$ $P_{if}(t) = | e^{i(E_f t - E_i t_i)/\hbar} \langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2 = | \langle \psi_f | \hat{U}_I(t,t_i) | \psi_i \rangle|^2$ Esto da el resultado deseado.
Esto, en cierto modo, también responde a su segunda pregunta. En términos de probabilidades, gracias a la presencia de $| \quad |^2$ , un estado propio de $\hat{H}_0$ da el mismo resultado en la imagen de Schrödinger e Interaction. Y finalmente, todas las diferentes imágenes (Schrödinger, Heisenberg, Interaction) dan los mismos resultados cuando se trata de derivar probabilidades, valores esperados, etc. ¡Esto es importante porque estos son los valores físicos a los que tenemos acceso en los experimentos! No deben depender de la imagen que usamos para hacer los cálculos.
@mhham ¿Es incorrecto entonces que JDoe diga que " $|\psi(t)\rangle_I = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i(t)\rangle_{S} = e^{\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}e^{-\frac{i \hat{H_0}t}{\hbar}}|\psi_i \rangle = |\psi_i\rangle$ "?
Desafortunadamente, la primera igualdad escrita por JDoe es incorrecta. En efecto $|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar}|\psi(t)\rangle_S$ y no $|\psi(t)\rangle_I = e^{i\hat{H}_0 t/\hbar}|\psi_i(t)\rangle_S$ . La relación entre los estados de Schrödinger e Interacción es válida al mismo tiempo $t$ para los dos no $t$ para el término de interacción y $t_i$ para el término de Schrödinger. espero que mi explicacion este bien

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