Validez de la aproximación de campo medio

Question

Validez de la aproximación de campo medio

Física
muchos cuerpos
aproximaciones
materia Condensada
teoría del campo medio
superconductividad

Lars Milz

En la aproximación de campo medio reemplazamos el término de interacción del hamiltoniano por un término cuadrático en los operadores de creación y aniquilación. Por ejemplo, en el caso de la teoría BCS, donde

\sum_{k k^{'}} V_{k k^{'}} C_{k ↑}^{†} C_{- k ↓}^{†} C_{- k^{'} ↓} C_{k^{'} ↑} \to \sum_{k} Δ_{k} C_{k ↑}^{†} C_{- k ↓}^{†} + Δ_{k}^{⋆} C_{- k ↓} C_{k ↑},

$\sum_{kk^{\prime}}V_{kk^{\prime}}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger}c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}\to\sum_{k}\Delta_{k}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger} + \Delta_{k}^{\star}c_{-k\downarrow}c_{k\uparrow}\text{,}$

con $\Delta_{k}=\sum_{k^{\prime}}V_{kk^{\prime}}\langle c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}\rangle\in\mathbb{C}$ . Luego, en libros, como este de Bruss & Flensberg, siempre hay una oración como "las fluctuaciones alrededor $\Delta_{k}$ son muy pequeños", de modo que la aproximación de campo medio es una buena aproximación. Pero sabemos, por ejemplo, que en el caso del modelo 1D Ising, la aproximación de campo medio es muy mala.

Mi pregunta: ¿Existe una desigualdad o alguna condición matemática que diga algo sobre la validez del enfoque de campo medio? Además, ¿existe una derivación matemática rigurosa de la aproximación de campo medio y la validez de la misma?

jjcale

Para el modelo de vidrio giratorio Sherrington-Kirkpatrick, consulte annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/…

Respuestas (4)

Validez de la aproximación de campo medio

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Valerio · Answer 1

La teoría del campo medio solo es buena cuando las fluctuaciones son pequeñas, lo que significa que la energía libre de una fluctuación debe ser mucho menor que la energía libre total.

La energía libre de la fluctuación típica es del orden $kT$ y su tamaño está determinado por la longitud de correlación $\xi$ , y es de orden $\xi^d$ , con $d=$ dimensión:

F_{F yo tu C t} \sim \frac{k T}{ξ^{d}} \sim∣ t ∣^{v d}

$F_{fluct}\sim \frac{kT}{\xi^d}\sim \mid t\mid^{\nu d}$

haber usado $\xi \sim \mid t \mid^{-\nu}$ dónde $t=(T-T_c)/T_c$ y $T_c$ es la temperatura crítica. Para obtener la energía libre total debemos integrar el doble del calor específico, $c\sim \mid t \mid^{-\alpha}$ . imponer que $F_{fluct}/F$ va a $0$ por $t\to 0$ obtenemos

d v > 2 - α

$d \nu > 2-\alpha$

Por ejemplo, en el modelo de Ising tenemos $\alpha=0$ y $\nu=1/2$ , por lo que la condición es $d>4$ . Esta es la razón por la cual la aproximación del campo medio es mala para el modelo de Ising en menos de cuatro dimensiones.

Gracias, esta es una buena respuesta. Sin embargo, estoy más interesado en el caso de la teoría BCS y la teoría de Hartree-Fock. Aquí debería funcionar de una manera diferente o?
Estos son argumentos estadístico-mecánicos bastante generales y deberían ser válidos independientemente del modelo. Lo que afirmé a veces se conoce como el Criterio de Ginzburg.
Tiene razón, pero ¿cuál es la condición para la aproximación de Hartree-Fock? Aquí no tenemos exponentes críticos, solo un sistema fermiónico.
La teoría BCS (que es una aproximación de Hartree-Fock) es una teoría microscópica de la superconductividad, que es un fenómeno crítico. Entonces tendrá una temperatura crítica y exponentes críticos. De hecho, tendrá los mismos exponentes críticos de la teoría (macroscópica) de Landau-Ginzburg, ya que ambas son teorías de campo medio. Véase por ejemplo pág. 766 aquí: lassp.cornell.edu/clh/Book-sample/7.3.pdf
Creo que explicas el criterio de validez del MFA cerca $T_c$ , pero la pregunta es sobre $T=0$ .

Tomás · Answer 2

Puede introducir el campo medio bosónico ``aspirante'' exactamente, utilizando el método Hubbard-Stratonich (también conocido como bosonización parcial), consulte wikipedia y Fermiones interactivos en una red y Transformación Hubbard-Stratonovich y aproximación de campo medio .

La aproximación de campo medio corresponde a realizar la integral sobre el campo bosónico utilizando la aproximación de fase estacionaria. La acción del fermión es bilineal y se puede realizar exactamente. Las correcciones a la aproximación de fase estacionaria corresponden a fluctuaciones alrededor del campo medio. Estos son pequeños si el acoplamiento de cuatro fermiones en la teoría BCS es pequeño. Si el acoplamiento es fuerte, puede ser posible justificar la aproximación del campo medio por una aproximación grande N (campo vectorial de componentes N) o d grande (número de dimensiones).

Esquemáticamente, la acción efectiva de la teoría bosonizada es

S = T r {Iniciar sesión [{GRAMO}_{0}^{- 1} GRAMO (ϕ)]} - \frac{ϕ^{2}}{gramo}

$S = {\rm Tr}\{\log[G_0^{-1}G(\phi)]\} -\frac{\phi^2}{g}$ dónde

g

$g$ es el acoplamiento,

ϕ

$\phi$ es el campo bosónico, y

GRAMO (ϕ) = (\begin{matrix} {pags}_{0} - ϵ_{pags} & ϕ \\ ϕ & {pags}_{0} + ϵ_{pags} \end{matrix})

$G(\phi) = \left( \begin{matrix} p_0-\epsilon_p & \phi \\ \phi & p_0+\epsilon_p \end{matrix} \right)$ es el propagador. yo también defino

G_{0} = G (0)

$G_0=G(0)$ . Ahora

{\frac{d S}{d ϕ} |}_{ϕ_{0}} = 0

$\left. \frac{\delta S}{\delta\phi}\right|_{\phi_0} = 0$ es la ecuación de brecha MFA

ϕ_{0} = gramo \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} \frac{ϕ_{0}}{\sqrt{ϵ_{pags}^{2} + ϕ_{0}^{2}}} .

$\phi_0 = g\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{\phi_0}{\sqrt{\epsilon_p^2+\phi_0^2}} .$ Las correcciones se pueden encontrar expandiendo

S

$S$ alrededor

ϕ = ϕ_{0} + δ ϕ

$\phi=\phi_0+\delta \phi$ . Esto dará bucles más altos que contienen

G (ϕ_{0})

$G(\phi_0)$ . El parámetro de expansión es g. En unidades físicas

1 / g

$1/g$ es el logaritmo de la energía de Fermi sobre la brecha,

g \sim [\log (E_{F} / ϕ_{0})]^{- 1}

$g\sim [\log(E_F/\phi_0)]^{-1}$ .

Cerca $T_c$ las correcciones al campo medio (=Landau-Ginsburg) están controladas por el criterio de Ginsburg, como se explica en la respuesta de Valrio92. En BCS de acoplamiento débil, la ventana de Ginsburg es pequeña y el campo medio es preciso, excepto muy cerca de $T_c$ .

Con "Correcciones a la aproximación de la fase estacionaria", ¿se refiere a términos de alto orden en la expansión de Taylor del funcional?

Zy han · Answer 3

Recientemente noté la referencia dada por @akhmeteli, que me ayuda mucho a entender MFA. Haré algunos cálculos aquí (con respecto al problema original):

H = \sum ϵ_{k} C_{k}^{†} C_{k} + \sum_{k k^{'}} V_{k k^{'}} C_{k ↑}^{†} C_{- k ↓}^{†} C_{- k^{'} ↓} C_{k^{'} ↑}

$\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\Tr}{\text{Tr}} H = \sum \epsilon_k c^\dagger_k c_k + \sum_{k k'} V_{kk^{\prime}}c_{k\uparrow}^{\dagger}c_{-k\downarrow}^{\dagger}c_{-k^{\prime}\downarrow}c_{k^{\prime}\uparrow}$ MFA, como sugiere Bogoliubov, se puede entender completamente dentro del principio variacional, por lo tanto, uno puede deshacerse del confuso "parámetro de orden" y "fluctuación", con el siguiente procedimiento:

paso 1: elija un hamiltoniano que no interactúe con tantos parámetros ajustables como desee, digamos
$H_{0} = H_{0} (mi, Δ) = \sum {mi}_{k} C_{k σ}^{†} C_{k σ} + \sum_{k, σ σ^{'}} (Δ_{k, σ σ^{'}} C_{k σ}^{†} C_{- k σ^{'}}^{†} + HC)$ $H_0 = H_0(E, \Delta) = \sum E_k c^\dagger_{k\sigma} c_{k\sigma} + \sum_{k, \sigma\sigma'} (\Delta_{k, \sigma\sigma'}c_{k\sigma}^{\dagger}c_{- k\sigma'}^{\dagger} + \text{H.C.})$ tenga en cuenta que la forma aquí implica la simetría de traducción espacial. Por supuesto, puede usar una forma más general, que puede brindarle más observaciones (digamos, el estado de onda de densidad que rompe la simetría traslacional)
paso 2: la desigualdad de Bogoliubov ayuda a encontrar el conjunto de parámetros óptimos, definiendo:
$F (H) = - \frac{1}{β} Iniciar sesión (Tr ({mi}^{- β H}))$ $F(H) = -\frac{1}{\beta} \log \left(\Tr(e^{-\beta H})\right)$

$⟨ \hat{O} ⟩_{0} = \frac{Tr (\hat{O} {mi}^{- β H_{0}})}{Tr ({mi}^{- β H_{0}})}$ $\expect{\hat{O}}_0 = \frac{\Tr( \hat{O} e^{-\beta H_0})}{\Tr( e^{-\beta H_0})}$ la desigualdad (principio variacional): $F (H) \leq F (H_{0}) + ⟨ H - H_{0} ⟩_{0}, \forall H_{0}$ $F(H) \leq F(H_0) + \expect{H-H_0}_0, \quad \forall H_0$ óptimo $H_0$ por tanto viene dada por: $min_{todos los parámetros} F (H_{0}) + ⟨ H - H_{0} ⟩_{0}$ $\min_{\text{all parameters}} F(H_0) + \expect{H-H_0}_0$

con algunas matemáticas adicionales, especialmente la ecuación de Feynman-Hellmann:

\begin{aligned} \frac{\partial F (H_{0})}{\partial {mi}_{k}} & = \sum_{σ} ⟨ C_{k σ}^{†} C_{k σ} ⟩_{0} \\ \frac{\partial F (H_{0})}{\partial Δ_{k, σ σ^{'}}} & = ⟨ C_{k σ}^{†} C_{- k, σ^{'}}^{†} ⟩_{0} \\ \dots \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{\partial F(H_0)}{\partial E_k} &= \sum_{\sigma} \expect{c^\dagger_{k\sigma}c_{k\sigma}}_0 \\ \frac{\partial F(H_0)}{\partial \Delta_{k,\sigma\sigma'}} &= \expect{c^\dagger_{k\sigma} c^\dagger_{-k,\sigma'}}_0 \\ & \cdots \end{aligned}$ y el teorema de Wick para la expectativa calculada en un estado fundamental que no interactúa:

⟨ C_{1}^{†} C_{2}^{†} C_{3} C_{4} ⟩_{0} = ⟨ † † ⟩_{0} ⟨ . . ⟩_{0} - ⟨ ⟩_{0} ⟨ ⟩_{0} + ⟨ ⟩_{0} ⟨ ⟩_{0}

$\expect{c_1^\dagger c_2^\dagger c_3 c_4}_0 = \expect{\dagger\dagger}_0\expect{..}_0 - \expect{}_0\expect{}_0 + \expect{}_0\expect{}_0$ Será fácil restaurar el resultado deseado.

ajmeteli · Answer 4

La teoría del campo medio es exacta (en el límite termodinámico) en el caso de interacción de largo alcance (que no es el caso del modelo de Ising del vecino más cercano). Por lo tanto, la teoría del campo medio es exacta para BCS, donde tiene una interacción efectiva de largo alcance. En cuanto a resultados rigurosos, Bogoliubov probó rigurosamente que en el estado fundamental (temperatura cero) las energías por partícula coinciden para BCS y la teoría del campo medio en el límite termodinámico. Más tarde, Bogoliubov Jr. probó rigurosamente lo mismo para temperaturas arbitrarias (y energías libres por partícula). Ver la bibliografía, por ejemplo, en http://arxiv.org/abs/1507.00563 (la discusión es alrededor de la página 43).

No estoy seguro de lo que quieres decir. 1) BCS es rango cero. 2) MFA ciertamente no es exacto para fuerzas de largo alcance como bosones de calibre, fluctuación de espín, etc. 3) Puede querer decir un rango verdaderamente infinito (rango cero en el espacio de momento), pero esto no se realiza en la naturaleza,
@Thomas: "La interacción BCS tiene lugar exclusivamente con momento cero y, como tal, implica una interacción de rango infinito entre pares. Este aspecto de largo alcance del modelo permite la solución exacta del hamiltoniano BCS utilizando la teoría del campo medio". ( libros. google.com/… ). Y es un modelo, no la naturaleza :-)
BCS de onda s dispersa (k,-k) en (k',-k'), por lo que la transferencia de momento q=kk' es del orden k_F, que es una interacción de corto alcance.
Supongo que te refieres al hecho de que el impulso del par es cero, pero eso no hace que el MFA sea exacto.
@Thomas: dentro del modelo y en el límite termodinámico, sí.
¿Que modelo? Ciertamente no BCS. A menos que se refiera a MFA-BCS, lo que hace que la declaración sea tautológica
@Thomas: Bogoliubov Jr. demostró eso para un kernel bastante general de BCS. Las referencias proporcionadas en arxiv.org/abs/1507.00563 no están disponibles para mí, solo tengo un libro en ruso con la prueba. No estoy muy seguro acerca de un núcleo arbitrario, pero ¿por qué está seguro de que el resultado no es correcto para un núcleo arbitrario?
Véase también HAAG, R.: La estructura matemática del modelo BCS. Nuovo cimento 25/2 287-299 (1962).

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