Transformación de Hubbard-Stratonovich y aproximación de campo medio

Efectivamente son equivalentes. Es muy esclarecedor y satisfactorio ver la prueba de esto. Considere una acción general de la forma

$$Z = \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\frac{\lambda}{2} \;\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi]$$ dónde$S_0$es la acción alrededor de la cual perturbamos (no supondremos que se trata de una teoría libre).

1. Teoría del campo medio. El supuesto esencial es que

$$\mathcal O([\varphi]) = M + \underbrace{(\mathcal O([\varphi]) -M)}_{= \textrm{ small}}.$$ Cuadrando esto nos da$\mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \approx 2M \mathcal O[\varphi] - M^2$. Reemplazar esto en la función de partición nos da la aproximación del campo medio: $$\boxed{ Z_\textrm{mf}[M] = e^{- \lambda M^2 / 2} \int \exp \left( -S_0[\varphi]+\lambda M\mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\varphi] }$$ con la relación de autoconsistencia $$M = \langle \mathcal O[\varphi] \rangle_\textrm{mf} = \frac{1}{\lambda} \partial_M \ln \left( e^{\lambda M^2/2} Z_\textrm{mf}[M] \right).$$ Nótese que esto último es equivalente a$\boxed{ \partial_M \ln Z_\textrm{mf}[M] = 0 }$(que se puede interpretar como que el campo medio extremiza la energía libre).

2. Transformación de Hubbard-Stratonovich. La identidad esencial es

$$\exp\left( \frac{\lambda}{2} \; \mathcal O[\varphi] \mathcal O[\varphi] \right) = \int \exp \left( - \frac{\lambda \mathcal M^2}{2} + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi] \right) \; \mathrm D[\mathcal M].$$ Conectando esto a la función de partición original, obtenemos $$\boxed{ Z = \int \mathrm D[\mathcal M] \; e^{-\lambda \mathcal M^2/2} \int \mathrm D[\varphi] e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} = \int e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M]} \mathrm D [\mathcal M] },$$ con la acción Hubbard-Stratonovich $$\boxed{ S_\textrm{HS}[\mathcal M] = \frac{\lambda \mathcal M^2 }{2} - \ln \left( \int e^{-S_0[\varphi] + \lambda \mathcal M \mathcal O[\varphi]} \; \mathrm D[\varphi] \right) }.$$

3. Conexión entre campo medio y Hubbard-Stratonovich. De lo anterior, podemos ver directamente que$S_\textrm{HS}[\mathcal M ] = - \ln Z_\textrm{mf}[\mathcal M]$. De manera equivalente, podemos escribir

$$\boxed{ Z = \int Z_\textrm{mf}[\mathcal M] \; \mathrm D[\mathcal M] } \; .$$ La aproximación del punto de silla es, por lo tanto, $$\boxed{ Z \approx e^{-S_\textrm{HS}[\mathcal M_0]} = Z_\textrm{mf}[\mathcal M_0] \qquad \textrm{with } S'_\textrm{HS}[\mathcal M_0] = 0 },$$ pero tenga en cuenta que la acción de Hubbard-Stratonovich siendo extremal es exactamente equivalente a la extremalidad de la energía libre de campo media, es decir,$\mathcal M_0 = M$. QED.

4. Más allá de la teoría del campo medio. ¿Qué ganamos con esto? Podemos incorporar directamente las correcciones cuadráticas alrededor de esta aproximación de punto de silla. Es decir, una mejor aproximación es

$$Z \approx \frac{Z_\textrm{mf}[M]}{\sqrt{S''_\textrm{HS}[M]}}.$$ De hecho, esto se puede usar para probar qué tan confiable/estable es la aproximación del campo medio.

Son equivalentes. Pero se podría decir que esa transformación de Hubbard-Stratanovich es más sistemática, ya que podría ser más fácil descubrir cómo ir más allá del campo medio. También podría ser más fácil combinar diferentes tipos de canales (por ejemplo, ha seleccionado un canal de partículas-agujeros en su ejemplo, mientras que en el caso de la superconductividad, uno seleccionaría un canal de partículas-partículas$c^\dagger c^\dagger c c\to c^\dagger c^\dagger\langle c c \rangle+ \langle c^\dagger c^\dagger \rangle c c$). Pero se debe tener en cuenta que las transformaciones HS son arbitrarias (se puede combinar un número arbitrario de ellas), y las diferentes teorías de campo medio que se obtienen de ellas dan resultados diferentes (aunque si se pudiera hacer el cálculo exactamente, los resultados serían ser el mismo).

Elegir la transformación HS apropiada es siempre una conjetura.