¿Cómo calcular la densidad de estado a partir de la función de Green?

Me gustaría trazar la densidad de estado (DOS) para un sistema específico, digamos un superconductor BCS de onda s, cuya función de Green es

GRAMO ( pag , ω ) = ω + ξ ω 2 − ξ 2 − Δ 2

como se da, por ejemplo, en el libro de Abrikosov, Gor'kov y Dzyaloshinski, eq. (34.16), donde ξ ≈ v F ( pag − pag F ) representa la energía cinética del potencial químico mi F = v F pag F ,, pag es el impulso, ℏ ω es la energía y Δ la brecha superconductora.

Una definición frecuente para el DOS es

ρ = 1 π límite d → 0 ℑ { ∫ d pag GRAMO R ( ω + i d ) }

usando la función de Green retardada (quizás con otro factor de proporcionalidad y/o signo, pero supongo que ese no es el punto importante aquí). La llamada función de Green retardada GRAMO R se define como la función de Green analítica en el plano semicomplejo superior.

  • Cómo calcular y/o trazar el DOS ρ de GRAMO ?

  • Subsidiaria, ¿cómo ver el estado con energía cero en un superconductor de onda p? En ese caso, la función de Green es algo así como

    GRAMO = ω + pag 2 − pag F 2 2 metro ω 2 − ( pag 2 − pag F 2 2 metro ) 2 − ( Δ pag ) 2

Gracias por cualquier comentario que ayude a mejorar esta pregunta. Cualquier otro ejemplo que no sea la superconductividad tratada pedagógicamente también ayudaría.

Algunos detalles más: la función Green anterior verifica

[ ( i ℏ ∂ Δ − Δ † − i ℏ ∂ ) + ℏ 2 2 metro ∇ 2 + m ] GRAMO ( X 1 , X 2 ) = d ( X 1 − X 2 )
con
GRAMO ( X 1 , X 2 ) = i ℏ ⟨ T ^ ( − Ψ ( X 1 ) Ψ ~ † ( X 1 ) ) ⊗ ( Ψ † ( X 2 ) Ψ ~ ( X 2 ) ) ⟩ = ( GRAMO ( X 1 , X 2 ) − F ( X 1 , X 2 ) F † ( X 1 , X 2 ) GRAMO † ( X 1 , X 2 ) )
y Ψ algún operador fermiónico. uno define ξ = pag 2 − pag F 2 2 metro ≈ v F ( pag − pag F ) en el camino, y uno va al espacio de momento para obtener GRAMO ( pag , ω ) arriba. no le di la F función, consulte la respuesta de Meng-Cheng a continuación, que contiene el GRAMO por un verdadero Δ .

Puede que no esté familiarizado con la jerga de la materia condensada, pero las funciones de Green son objetos para ecuaciones diferenciales/operadores , no para sistemas. ¿Es esta una función/propagador de correlación de dos puntos?
@ACuriousMind Perdón por no haber sido explícito. Pongo más detalles sobre la pregunta.

Respuestas (1)

No incluiste la parte imaginaria infinitesimal adecuada para la frecuencia en la primera ecuación de la función de Green, lo que habría dado las estructuras polares correctas. Por lo tanto, no está claro si esto es ordenado por tiempo, retrasado o avanzado. La función de Green retrasada es

GRAMO R ( ω , pag ) = ω + ξ ( ω + i d ) 2 − ξ 2 − Δ 2

Puede obtener esto directamente o realizar una continuación analítica de la función de Green de Matsubara (tiempo imaginario).

La parte imaginaria es

ℑ GRAMO = − π ( ω + ξ ) ( d ( ω − ξ 2 + Δ 2 ) + d ( ω + ξ 2 + Δ 2 ) )

Otro problema es que en un superconductor la función de Green es realmente una matriz. El que tienes es probablemente solo ⟨ C C † ⟩ . La densidad de estado viene dada por la parte imaginaria de la traza de la matriz función de Green. La función de Green completa está dada por

ω + ξ τ z + Δ τ X ω 2 − ξ 2 − Δ 2

Aquí τ son matrices de Pauli en el espacio Nambu (partícula-agujero).

Para pag superconductores de ondas, bueno, una vez que escribes la función de Green en el espacio de momento, has asumido invariancia de traslación y una brecha superconductora constante en todas partes. El estado de energía cero solo aparece en los defectos, donde el parámetro de orden desaparece (como el núcleo de un vórtice o el borde). Así que no ves el estado de energía cero de esta función de Green en particular porque no hay ninguna. Tienes que resolver la ecuación BdG en el espacio real, o resolver la ecuación completa de Gor'kov para la función de Green en el espacio real para obtener el estado de energía cero.

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