Resolviendo el hamiltoniano BCS a través de la transformación de Bogoliubov

Estaba haciendo un cálculo en Introducción a la física de muchos cuerpos de Giamarchi, capítulo 3, sobre la teoría BCS y la segunda cuantización, y encontré cierta confusión con el hamiltoniano BCS. El pdf está aquí para su referencia: http://dpmc.unige.ch/gr_giamarchi/Solides/Files/many-body.pdf

La principal confusión viene con la ecuación. 3.154. Aquí, el hamiltoniano BCS está dado por

H = ∑ k ( A ( k ) ( β k † β k − α k † α k ) + Δ ( α k † β k + β k † α k ) ) + ∑ k ξ ( k )

Dónde ξ ( k ) y A ( k ) son funciones de k y α k y β k son operadores fermiónicos. Ahora, sé que el hamiltoniano de enlace estrecho con un potencial periódico está dado por la ecuación. 3.128:

H = ∑ k ( A ( k ) ( β k † β k − α k † α k ) + V ( α k † β k + β k † α k ) )
La solución a esto es fácil de resolver con la transformación de Bogoliubov, y está dada por

mi ( k ) = ξ ( k ) 2 + V 2
Pude derivar esto sin ningún problema. Sin embargo, mi pregunta es la siguiente: ¿sería entonces la solución del hamiltoniano BCS

mi B C S ( k ) = ξ ( k ) 2 + V 2 + ξ ( k )

¿O sería idéntico al hamiltoniano de unión estrecha? ¿Cambiarían también los vectores propios dados por la transformación de Bogoliubov?

Depende de si está interesado en el espectro del hamiltoniano (los valores propios de H) o en el aumento de energía cuando agrega una cuasi-partícula. Por lo general, uno está interesado en este último.
@Adam Entonces el espectro es ξ ( k ) 2 + V 2 , mientras que el aumento de energía después de agregar una cuasipartícula es ξ ( k ) 2 + V 2 + ξ ( k ) ?
Reescriba el hamiltoniano después de la transformación de Bogoliubov (y tenga cuidado con la conmutación de los operadores de escalera), y todo debería estar claro.
No veo cómo puedes llegar a ξ 2 + V 2 + ξ . Sólo recuerda que el último término ∑ k ξ k es la energía del vacío, que no entra ni en el espectro ni en la energía de excitación de las cuasipartículas. En cualquier caso, el espectro debe ser ξ 2 + V 2 sin el adicional ξ .

Respuestas (2)

Como se afirma en el documento de Giamarchi, "Este es, hasta una constante simple, exactamente el hamiltoniano que ya examinamos y, por lo tanto, puede resolverse exactamente mediante las mismas transformaciones".

En efecto, ∑ k ξ ( k ) es una constante: no involucra a ninguno de los operadores α k o β k , y puede escribirse mi 0 = ∑ k ξ ( k )

Por lo tanto, la resolución del hamiltoniano BCS conduciría a

mi B C S ( k ) = ξ ( k ) 2 + V 2 + ∑ k ′ ξ ( k ′ ) = ξ ( k ) 2 + V 2 + mi o

que son las mismas energías que en el caso de TB con el potencial anterior, desplazadas en una cantidad fija, y conducirían a los mismos vectores propios.

¿Qué quiere decir con "solución del hamiltoniano BCS"? En mecánica cuántica, una solución es una cantidad observable que desea calcular. No obstante, suelo llamar a la función de partición (la gran canónica para problemas de muchos cuerpos) una "solución", porque contiene la mayor parte de la información del sistema.

Respondiendo a su pregunta asumiendo que su pregunta es sobre el espectro de cuasipartículas (energías de excitación): Las energías de cuasipartículas son mi k = ξ k 2 + V 2 .

La "energía" total (en realidad estamos tratando con el gran canónico hamiltoniano, por lo que ξ k son energías solo referidas desde el potencial químico) después de que se realiza una excitación de cuasipartículas. mi k = ξ k 2 + V 2 + ∑ k ξ k además de algunas otras constantes de energía que puede haber dejado caer en el camino (a veces las constantes son necesarias, pero no en general).

Resolviendo el hamiltoniano BCS a través de la transformación de Bogoliubov
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v