Relación anticonmutador en Bogoliubov-de Gennes hamiltoniano

Casi resolví el problema Equivalencia de Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian para nanocable . En los siguientes pasos utilicé la notación de arXiv:0707.1692 :

Ψ † = ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) )

y

Ψ = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) T .

Estoy tratando de demostrar que el hamiltoniano para un nanocable con superconductividad inducida por proximidad

H ^ = ∫ d X   [ ∑ σ ϵ { ↑ , ↓ } ψ σ † ( ξ pag + α pag σ y + B σ z ) ψ σ + Δ ( ψ ↓ † ψ ↑ † + ψ ↑ ψ ↓ ) ] ,

Se puede escribir como

H ^ = 1 2 ∫ d X   Ψ † H Ψ

con H = ξ pag 1 ⊗ τ z + α pag σ y ⊗ τ z + B σ z ⊗ 1 + Δ 1 ⊗ τ X (aquí τ i son la matriz de Pauli para el espacio partícula-agujero y ⊗ significa el producto Kronecker).

Aquí calculo como ejemplo el primer y tercer término de Ψ † H Ψ .

τ z Ψ = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , − ( ψ ↓ † , − ψ ↑ † ) ) T = ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) T

⇒ ( ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) , ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ) ξ pag ( ( ψ ↑ , ψ ↓ ) , ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) ) T = ( ψ ↑ † , ψ ↓ † ) ξ pag ( ψ ↑ , ψ ↓ ) T + ( ψ ↓ , − ψ ↑ ) ξ pag ( − ψ ↓ † , ψ ↑ † ) T = ψ ↑ † ξ pag ψ ↑ + ψ ↓ † ξ pag ψ ↓ − ψ ↓ ξ pag ψ ↓ † − ψ ↑ ξ pag ψ ↑ †

Ahora uso la relación anticonmutador { ψ σ , ψ σ ′ † } = d σ , σ ′ ⇔ ψ σ ψ σ † = 1 − ψ σ † ψ σ

⇔ 2 ψ ↑ † ξ pag ψ ↑ + 2 ψ ↓ † ξ pag ψ ↓ − 2 ξ pag

Sin embargo, el término − 2 ξ pag aquí están mal.

Para el tercer término obtengo

ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + ψ ↓ † B σ z ψ ↓ + ψ ↓ B σ z ψ ↓ † + ψ ↑ B σ z ψ ↑ † = ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + ψ ↓ † B σ z ψ ↓ − ψ ↓ † B σ z ψ ↓ − ψ ↑ † B σ z ψ ↑ + 2 B σ z = 2 B σ z

¿Alguien ve mi error?

Respuestas (2)

yo defino H ∼ ψ α † ξ α β ψ β , donde me olvido de las sumas/integrales y todo este pentagrama aburrido. yo también defino ξ α β ≡ ξ ⋅ σ = ξ 0 + ξ X σ X + ξ y σ y + ξ z σ z tener el hamiltoniano de un cuerpo más genérico escrito en forma compacta. El hamiltoniano de un cuerpo se lee, en notación matricial

H ∼ ( ψ ↑ † ψ ↓ † ) ( ξ 0 + ξ z ξ X − i ξ y ξ X + i ξ y ξ 0 − ξ z ) ( ψ ↑ ψ ↓ )
como se puede comprobar fácilmente.

Ahora se quiere agregar el doble espacio de partículas y agujeros (espacio Nambu). Uno usa eso (la relación anti-conmutación)

ψ α † ξ α β ψ β = − ξ α β ψ β ψ α † + d α β ξ α β = − ψ β ( ξ α β ) T ψ α † + d α β ξ α β
y obtienes el rastro inevitable sobre la energía de un solo cuerpo. Sin embargo, esto vuelve a normalizar su energía de una manera estándar y, por lo general, elimina este término adicional. Obtenemos así
H ∼ 1 2 ( ψ ↑ † ψ ↓ † ψ ↑ ψ ↓ ) ( ξ ⋅ σ − i σ y Δ i σ y Δ − ( ξ ⋅ σ ) T ) ( ψ ↑ ψ ↓ ψ ↑ † ψ ↓ † ) − 1 2 Tr { ξ ⋅ σ }
en notación mixta (matriz de bloques en el medio, vectores completos en el borde). Tenga en cuenta lo único importante aquí que ( ξ ⋅ σ ) T = ( ξ ⋅ σ ) ∗ y solo el σ y signo de cambios de componente (mira tu α pag σ y τ z término en el hamiltoniano BdG)

Su convención de pedido se encuentra por un cambio obvio de base de la mía. Luego eliges una representación para el producto tensorial y listo. Una vez más, no puede evitar el último término de rastreo, pero la mayoría de las personas se olvidan de discutirlo. Casi no tiene ningún papel, excepto cuando desea describir algunos efectos relacionados con la transición de fase de la superconductividad (por ejemplo, para escribir correctamente la energía libre, la necesita).

Una cosa más: el hamiltoniano que diste es un poco famoso en este momento por albergar fermiones de Majorana. Si diagonalizas la parte giratoria, terminas con un pag -superconductividad efectiva de ondas a baja energía.

¿No debería ser ξ β α T (con beta, alfa intercambiado) en la línea donde usa la relación anti-conmutación?

Esa es la respuesta perfecta. Quiero reescribir el hamiltoniano como un producto tensorial (aquí producto de Kronecker)

H ∼ ( ξ ⋅ σ − i σ y Δ i σ y Δ − ( ξ ⋅ σ ) T ) = ξ 0 1 ⊗ τ z + ξ z σ z ⊗ τ z + ξ y 1 ⊗ σ y + Δ σ y ⊗ τ y .

Mi problema ahora es el término de acoplamiento espín-órbita ξ y 1 ⊗ σ y que aquí es diferente como en la literatura. ¿Está bien esto en el aspecto físico? Sabía que el campo magnético aplicado en el término de campo de Zeeman debe ser perpendicular al campo de giro-órbita, lo que en ese caso se cumple.

Lo siento por esta respuesta tardía. Debería pedir precisión como comentario, no como respuesta... que son... bueno, como respuesta :-) No estoy seguro de entender su última declaración. Normalmente, lo único que hay que mantener es la simetría, sea cual sea su representación. Entonces, siempre que tenga algún efecto Zeeman a lo largo del z -axis (lo que sea que signifique, aquí significa que tienes un término h σ z ) y un acoplamiento espín-órbita a lo largo de un eje perpendicular (aquí algo así como v pag σ X , y , con v una velocidad para mantener la dimensión de la energía) estás bien. Divertirse.
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