Evaluación de la dependencia de baja temperatura de la función de brecha BCS

¿Cómo se hace para evaluar el comportamiento de la brecha BCS? Δ = Δ ( T ) para T → 0 + bajo la aproximación de acoplamiento débil Δ / ℏ ω D ≪ 1 ?

En Fetter & Walecka, Teoría cuántica de sistemas de muchas partículas , Prob. 13.9 se dice que el punto de partida es

(1) en ⁡ Δ 0 Δ = 2 ∫ 0 ℏ ω D d ξ ξ 2 + Δ 2 1 mi β ξ 2 + Δ 2 + 1 ,
que no tengo ningún problema en derivar de la teoría, pero no puedo encontrar una manera de evaluar realmente esta integral incluso bajo las aproximaciones ℏ ω D → ∞ , Δ ≈ Δ 0 (en la derecha) y β Δ → ∞ . [Por supuesto β = ( k B T ) − 1 y Δ 0 = Δ ( T = 0 ) .] Probé varios enfoques, usé diferentes expansiones de Taylor y cambios de variables, pero simplemente estoy atascado.

Para el registro, se supone que el comportamiento esperado es

(2) Δ ( T ) ∼ Δ 0 ( 1 − 2 π β Δ 0 mi − β Δ 0 ) .

EDITAR: Solo lo dejo aquí para la posteridad. Encontré una forma más completa de abordar esta integral; específicamente, bajo la aproximación WC uno tiene

∫ 0 + ∞ d X X 2 + 1 mi − β Δ X 2 + 1 1 + mi − β Δ X 2 + 1 = ∫ 1 + ∞ d y y 2 − 1 mi − β Δ y 1 + mi − β Δ y =
= ∑ k = 1 + ∞ ∫ 1 + ∞ d y y 2 − 1 ( − 1 ) k + 1 mi − k β Δ y = ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k + 1 ∫ 0 + ∞ d t mi − k β Δ aporrear ⁡ t = ∑ k = 1 + ∞ ( − 1 ) k + 1 k 0 ( k β Δ ) ,

k 0 siendo la función de Bessel modificada de orden 0 de segunda clase , cuyo comportamiento asintótico es conocido y puede ser utilizada para resolver el problema de una forma relativamente limpia (e incluso encontrar las correcciones en órdenes superiores, que son ∈ O ( mi − β Δ ( β Δ ) − k − 1 / 2 ) . Cf. Abrikosov, Gorkov, Dzyaloshinski, Métodos de la teoría cuántica de campos en física estadística , 1963. Pagg. 303-304.

Supongo que la respuesta a esta pregunta está contenida en una respuesta mía anterior: physics.stackexchange.com/a/65444/16689 , dígame si necesita más detalles.
@FraSchelle: leí esa publicación, pero no pude encontrar este problema específico abordado. Aunque podría haberlo perdido.

Respuestas (1)

Sugerencias:

  1. Definir diferencia d := Δ − Δ 0 . Deducir de | d | ≪ | Δ 0 | que el lhs. de la ec. (1) es

    (A) izq.   ≈   − d Δ 0 .

  2. Sustituto ξ = X Δ en la integral de la derecha. de la ec. (1). deducir usando ℏ ω D ≫ Δ que el rhs. es

    (B) derecho   ≈   ∫ R d X 1 + X 2 1 mi β Δ 1 + X 2 + 1 .

  3. Deducir de β Δ ≫ 1 que podemos simplificar la rhs. además de una integral de Gauss

    (C) derecho   ≈   ∫ R d X   mi − β Δ ( 1 + 1 2 X 2 )   =   2 π β Δ mi − β Δ .
    Estos argumentos están estrechamente relacionados con el método del descenso más pronunciado .

  4. Deducir la ec. (2).

ya veo, entonces X debe tratarse como una pequeña cantidad en el integrando porque mi − β Δ amerita hacerlo. Muchas gracias, esto me ha estado molestando por un tiempo.
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