Integrales de trayectoria y teoría del campo medio

Me interesan las teorías de campo medio en el formalismo de la integral de caminos. Sin embargo, tengo un problema técnico al evaluar la aproximación de fase estacionaria (aproximación de campo medio).

Después de la transformación de Hubbard-Stratonovich e integrando el grado de libertad fermiónico tenemos un funcional de acción de la forma

$$S = c\sum_{q}\phi_{q}V^{-1}\left(q\right)\phi_{-q} - \text{tr}\ln\left(G^{-1}\right)$$

donde c es una constante,$V^{-1}\left(q\right)$es el potencial de interacción inversa y$G$es el operador de Green para los fermiones libres que interactúan con el campo bosónico$\phi$.

Se pueden encontrar dos ejemplos en el libro de Altland & Simons. En el caso de un gas de electrones interactuando. Aquí$G$tiene la forma

$$\left(G^{-1}\right)_{kq} = \left(-i\omega_{n} + \frac{k^{2}}{2m} - \mu\right)\delta_{kq} + \frac{i}{\beta V}\phi_{q-k}$$

Entonces aplicando la aproximación de la fase estacionaria obtendremos

$$\frac{\delta S}{\delta \phi_{q}} = cV^{-1}\left(q\right)\phi_{-q} + \frac{2i}{\beta V}\sum_{q_{1}}G_{q_{1},q_{1}-q} = 0$$

No se conoce una solución general de estas ecuaciones. Pero descubrí que en el caso de un campo medio homogéneo$\phi_{q-k} = \bar{\phi}$, que la función de Green se puede escribir como

$$G_{q_{1},q_{1}-q}\frac{1}{-i\omega_{n} + \frac{k^{2}}{2m} - \mu + \frac{i}{\beta V}\bar{\phi}}$$

mi pregunta es por que no

$$G_{q_{1},q_{1}-q}\frac{1}{\left(-i\omega_{n} + \frac{k^{2}}{2m} - \mu\right)\delta_{q_{1},q_{1}-q} + \frac{i}{\beta V}\bar{\phi}}$$

que cancelaría la suma$\sum_{q_{1}}$?

El segundo ejemplo del libro de Altland & Simons es un superconductor. Aquí la función de acción dice

$$S_{\text{BCS}} = \sum_{Q}\phi_{Q}^{\dagger}\left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\phi_{Q} - \text{tr}\ln\left(\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)\right)$$

con$\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{k,q} = \begin{pmatrix} \left(-i\omega + \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} & \phi_{k-q} \\ \phi_{q-k}^{\dagger} & \left(-i\omega - \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} \end{pmatrix}$. La ecuación de campo medio viene dada entonces por

$$\frac{\delta S_{\text{BCS}}}{\delta \phi_{Q}^{\dagger}} = \left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\phi_{Q} - \sum_{kq}\text{tr}_{2\times 2}\left(\left(G_{\text{BCS}}\right)_{kq} \frac{\delta}{\delta \phi_{Q}^{\dagger}}\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{qk}\right)$$

Porque

$$\frac{\delta}{\delta \phi_{Q}^{\dagger}}\left(G_{\text{BCS}}^{-1}\right)_{qk} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \delta_{q-k,Q} & 0 \end{pmatrix}$$

y

$$\left(G_{\text{BCS}}\right)_{k,q} = \frac{-1}{\left(\omega_{n}^{2} + \epsilon_{k}\right)\Delta_{kq} + \phi_{k-q}\phi_{q-k}^{\dagger}}\begin{pmatrix} \left(-i\omega + \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} & \phi_{k-q} \\ \phi_{q-k}^{\dagger} & \left(-i\omega - \epsilon_{k}\right)\delta_{k,q} \end{pmatrix}$$

Esto lleva a

$$\left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\phi_{Q} - \sum_{kq}\frac{\phi_{k-q}\delta_{q-k,Q}}{\left(\omega_{n}^{2} + \epsilon_{k}^{2}\right)\delta_{kq} + \phi_{k-q}\phi_{q-k}^{\dagger}}$$

Luego, nuevamente bajo el supuesto de un campo medio homogéneo$\phi_{k-q} = \Delta$la ecuación de brecha debe seguir

$$\left(\frac{g}{\beta V}\right)^{-1}\Delta - \sum_{k}\frac{\Delta}{\omega_{n}^{2} + \epsilon_{k}^{2} + \left|\Delta\right|^{2}} = 0$$

Pero para mí el paso a la ecuación de la brecha no está claro. Tal vez alguien pueda explicarme por qué, debido a la suposición de un campo medio homogéneo, las dos ecuaciones de campo medio son válidas.