¿Teoría del campo medio versus aproximación gaussiana?

La aproximación de campo medio equivale a evaluar la integral funcional para la función de partición en la aproximación del punto de silla, mientras que la aproximación gaussiana retiene las fluctuaciones cuadráticas alrededor del punto de silla y, por lo tanto, incluye la corrección de orden más bajo para la aproximación de campo medio en una expansión de las fluctuaciones. alrededor del punto de silla.

La aproximación gaussiana está estrechamente relacionada con la aproximación de fase aleatoria, especialmente en el contexto de sistemas cuánticos de muchos cuerpos, mientras que la aproximación de campo medio en ese caso podría verse como la aproximación autoconsistente de Hartree-Fock.

La razón de la confusión puede ser que la aproximación gaussiana solo es válida si la dimensionalidad del sistema es mayor que cierta dimensión crítica superior. Debido a que para la clase de universalidad de Ising esta dimensión es 4, la aproximación gaussiana no es suficiente para describir el comportamiento crítico de los imanes de Ising en dimensiones experimentalmente accesibles, razón por la cual quizás le hayan dicho que está en el mismo nivel que la aproximación de campo medio. ?

Aquí hay un capítulo de libro para resolver su problema: Kopietz et al. “Teoría del campo medio y aproximación gaussiana”. lect. Notas Phys. 798, 23–52 (2010) [ PDF ].

Una teoría cuántica de campos se modela mediante una distribución de probabilidad (medida) sobre el espacio de todas las configuraciones de campo, especificada implícitamente por una acción funcional. Buscamos describir sistemas caracterizando sus distribuciones usando momentos (funciones de correlación).

Una caracterización simple para la distribución multivariada (cada punto corresponde a una variable aleatoria) es especificar su media en cada punto del espacio. La aproximación de campo medio hace exactamente eso: ignora todas las "fluctuaciones" en los valores de campo en cada punto y considera un "perfil de campo" clásico. Por lo general, también se supone que este perfil de campo es uniforme en el espacio, de modo que uno puede resolver convenientemente las respuestas autoconsistentes para el valor del campo de fondo. Además, tenga en cuenta que dicha solución (la configuración de acción más baja, es decir, la máxima verosimilitud, como suele calcularse en física) es en realidad la "moda" de la distribución, pero la moda y la media son intercambiables si la distribución tiene un pico y grandes fluctuaciones. tienen una medida despreciable. (Nota: Si el sistema no está en ese régimen,

Mecánicamente cuánticamente, la verdadera solución es la superposición de un conjunto de configuraciones que se modelan como "fluctuaciones" alrededor del campo "medio". Al ignorar cualquier interacción entre estas fluctuaciones en diferentes puntos (suprimidas por una constante de acoplamiento), la dinámica de orden principal se captura mediante un Lagrangiano cuadrático, solo los términos cinéticos/de gradiente para las fluctuaciones. Como esta acción conduce a una medida gaussiana de los grados de libertad fluctuantes, también se la conoce como aproximación gaussiana. Esto es equivalente a tratar cada grado de libertad de fluctuación como un oscilador armónico independiente (esencialmente, la teoría del campo "libre").

La utilidad de cada una de estas aproximaciones depende de detalles como el tamaño de la constante de acoplamiento, la dimensionalidad del sistema, etc. La esencia de todas esas condiciones radica en si el efecto de las fluctuaciones está suficientemente controlado o es insignificante. Un tema común en la física estadística es la aplicabilidad de estas aproximaciones en un régimen de parámetros y el dominio de las fluctuaciones en otro régimen, con una transición de fase a medida que la descripción apropiada cambia de un grupo de renormalización a otro.

No pude hacer el comentario, así que solo responderé aquí sobre tu edición.

La referencia que mencionó ("Introducción al Grupo de Renormalización Funcional", enlace ) en realidad hace el análisis completo para el MFA y GA del modelo Ising que escribió. Creo que la parte que quizás te hayas perdido es la sección 2.2.2, donde los autores hacen el$\phi^4$truncamiento a la energía libre de Ginzburg-Landau. A partir de ahí, puede seguir la sección 2.1.2 para hacer el análisis MF, que corresponde a resolver la ecuación de Euler-Lagrange. Después de eso, hacen la corrección GA de energía libre siguiendo la sección 2.3.1 expandiendo la configuración de campo alrededor de la solución MF al orden cuadrático y hacen la integración gaussiana.

Después del cálculo, debe quedar claro que la última integración gaussiana contribuye con un término adicional a la energía libre después de la parte del campo medio y, por lo tanto, es la corrección de orden principal (aunque generalmente no se controla el error).

En cuanto a su pregunta original: "en varias ocasiones (en el contexto del modelo Ising) que la aproximación gaussiana está al mismo nivel que MFT", se muestra en el libro que para D> 4 en realidad no hay corrección a los exponentes críticos en absoluto.

Si las dos aproximaciones son o no equivalentes depende de lo que esté tratando de calcular. Formalmente, la aproximación gaussiana siempre produce un término más allá de la aproximación de campo medio. Sin embargo, en algunas aplicaciones, ese término adicional en realidad no depende (de manera no trivial) de los acoplamientos que le interesan, por lo que solo agrega una constante a la acción y no afecta ningún observable físico. Por ejemplo, la sección 2.3.2 de Kopietz dice

Las fluctuaciones gaussianas no modifican las predicciones de campo medio para los exponentes β, γ y δ, que están relacionados con las fluctuaciones de parámetros de orden homogéneo. Dentro de la aproximación gaussiana, todavía obtenemos β = 1/2, γ = 1 y δ = 3. Por otro lado, la aproximación gaussiana para el exponente de calor específico α es diferente de la predicción del campo medio α = 0, porque las fluctuaciones con vectores de onda finitos dan una contribución no trivial Δf a la energía libre por sitio de red.

En algunos cálculos (por ejemplo, el truco de la réplica para sistemas desordenados), tenemos una acción de la forma$Z = \int D\varphi\ e^{-\beta N f[\varphi]}$, donde la densidad de energía libre$f$no depende del tamaño del sistema$N$. En este caso, la aproximación de campo medio$Z \propto e^{-\beta N f(\bar{\varphi})}$en realidad se vuelve exacto en el gran-$N$límite termodinámico, y las correcciones gaussianas se manifiestan como correcciones de tamaño finito, que rara vez nos preocupan.

En el límite termodinámico, el resultado del campo medio del modelo ising se vuelve exacto. Dado que la aproximación gaussiana incluye correcciones al campo medio, puede usar esta técnica para mostrar que estas correcciones desaparecen en el límite termodinámico. En este caso, el campo medio y la aproximación gaussiana son idénticos en el límite termodinámico, ya que ambos son exactos.