Modelo de Hubbard dentro del campo medio: tres enfoques diferentes

Para mí, la interacción de Hubbard por sitio se define como$H_{int}=U n_{\uparrow} n_{\downarrow}$. (Reprimí la$i$, y también hay un factor de dos debido a su suma de espín).

Entonces, la aproximación de campo medio se define como$n_{\uparrow} n_{\downarrow}\to n_{\uparrow} \langle n_{\downarrow}\rangle+n_{\downarrow} \langle n_{\uparrow}\rangle-\langle n_{\uparrow}\rangle \langle n_{\downarrow}\rangle$.

Entonces su versión (i) carece del término constante.

Por sitio, tiene dos operadores,$n_{\uparrow}$y$n_{\downarrow}$, es decir, las ocupaciones para cada especie de electrones, que, por supuesto, puede intercambiar contra la carga total,$n=n_{\uparrow}+n_{\downarrow}$y momento$m=n_{\uparrow}-n_{\downarrow}$(cuidado, nuevamente un factor de dos con su definición). Esto hace que termines con la versión (iii).

Para la versión (ii), necesita la llamada transformación de agujero de electrón, es decir, para una especie de espín, digamos$\downarrow$, reemplaza el operador de destrucción de electrones por un operador de creación de agujeros$c_{\downarrow}\to a^{+}_{\downarrow}$, y viceversa. (El$a$-los operadores satisfacen el mismo álgebra fermiónica que el original$c$-operadores.) Entonces$n_{\downarrow}=c^{+}_{\downarrow}c_{\downarrow}\to a_{\downarrow}a^{+}_{\downarrow} =1-a^{+}_{\downarrow}a_{\downarrow}$. Este último chico,$a^{+}_{\downarrow}a_{\downarrow}$, lo llamas$n_{\downarrow}$de nuevo, pero recuerda, ahora cuenta los agujeros. Y terminas con la interacción electrón-hueco en (ii).