Tratar la ecuación de Schrödinger como una ecuación diferencial ordinaria

¿Cómo puedo interpretar exactamente la ecuación en esta forma?

Para desarrollar una teoría de soluciones también en el caso general, se interpreta la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

i d d t ψ ( t ) = H ψ ( t )
como una ecuación diferencial ordinaria para la función vectorial ψ : R t → H := L 2 ( R norte d ) . Sin embargo, desde H no es un operador lineal acotado en H , esta teoría resulta ser mucho más sutil que la teoría de las EDO lineales en espacios de dimensión finita. Estas consideraciones nos llevarán al teorema espectral para operadores autoadjuntos ilimitados en espacios de Hilbert, uno de los resultados matemáticos centrales discutidos en este curso.

Así que tratamos ψ como una curva en norte d -espacio dimensional, obteniendo así una solución para ψ ( t ) , pero ¿cómo podríamos ignorar toda la dependencia de la posición?

Qué es norte Y lo que es d ? También tenga en cuenta que la ecuación de Schrödinger no implica necesariamente la posición, generalmente se ve desde la base de la posición, y eso es lo que vemos con más frecuencia.
norte el número de partículas, d la dimensión del espacio
No lo entiendo muy bien, desde mi intuición, la función de onda debería depender de la posición, así que no sé ... ¿hay alguna referencia que pueda leer?
@ khaled014z La función de onda del espacio de posición depende de la posición, pero, por ejemplo, la función de onda del espacio de impulso no.

Respuestas (1)

ψ es una curva a través H := L 2 ( R norte d ) , no a través R norte d sí mismo. Es decir, para cada t ∈ R tenemos eso ψ ( t ) ∈ L 2 ( R norte d ) es suelto ‡ una función integrable al cuadrado.

Debe tener cuidado de distinguir entre ψ , que es una curva a través de H , y ψ ( t ) , que es el elemento de H la curva pasa en el tiempo t . ψ es una función de una variable que come un tiempo t y escupe el vector ψ ( t ) , que es en sí misma una función integrable al cuadrado. No tendría ningún sentido para ψ aceptar una posición como entrada, ¿qué significaría eso? En cambio, es ψ ( t ) - que a menudo se interpreta como una función de posición (es decir, la función de onda del espacio de posición) - que puede tomar posición como una variable de entrada.

Para hacer esto explícito, podríamos usar una notación como [ ψ ( t ) ] ( X ) , lo que deja claro que t ∈ R es un número al que lo conectamos ψ para obtener una función ψ ( t ) ∈ L 2 ( R norte d ) , y X ∈ R norte d es un vector en el que nos conectamos ψ ( t ) para obtener un número [ ψ ( t ) ] ( X ) ∈ C . Esta notación es cosa de pesadillas, así que personalmente prefiero el símbolo ψ t ( X ) en cambio.

En la mayor parte de la literatura pedagógica, los autores tienden a esconder esta discusión debajo de la alfombra y simplemente escriben ψ ( t , X ) ; sin embargo, mi opinión es que esto oscurece la distinción entre espacio y tiempo que ocurre en la mecánica cuántica no relativista y conduce a profundos malentendidos .

Cuando escribimos la ecuación de Schrödinger, debemos interpretar los términos con cuidado. En mi notación preferida:

  • ψ es una función vectorial de una variable, y ψ ′ es su derivada vectorial
  • ψ t y ψ t ′ son los vectores en H que resultan de evaluar ψ y ψ ′ en el momento t
  • H es un operador lineal que se come un vector y escupe otro vector

⟶ i ℏ ψ t ′ = H ( ψ t )

‡ Realmente una clase de equivalencia de funciones, donde identificamos dos funciones F y gramo como el mismo elemento de L 2 ( R norte d ) si ∫ d norte d X | F ( X ) − gramo ( X ) | 2 = 0 .

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