Ecuaciones de Schrödinger dependientes e independientes del tiempo

Question

Ecuaciones de Schrödinger dependientes e independientes del tiempo

preferido_anon

Estoy tratando de entender la relación entre las ecuaciones de Schrödinger dependientes del tiempo e independientes del tiempo . En particular, sabemos que el TDSE es

H Ψ = i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t}

$H\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ mientras que la ecuación independiente es el problema de valores propios

H ψ = mi ψ

$H\psi=E\psi$ Mi pregunta principal es esta: si permitimos

Ψ

$\Psi$ ser independiente del tiempo (que es mi interpretación de una 'ecuación independiente del tiempo'), entonces ¿por qué no obtenemos simplemente

H Ψ = 0

$H\Psi=0$ ? Puedo ver de dónde viene el problema del valor propio: supongamos que tuviéramos una solución separable para el TDSE

Ψ (x, t) = ψ (x) T (t)

$\Psi(x,t)=\psi(x)T(t)$ . Entonces,

T H ψ = i ℏ \dot{T} ψ ⟹ i ℏ \frac{\dot{T}}{T} = \frac{H ψ}{ψ} = mi

$TH\psi=i\hbar \dot{T}\psi \implies i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=\frac{H\psi}{\psi}=E$ por alguna constante

E

$E$ , por lo que obtenemos

T (t) = A e^{- i E t / ℏ}

$T(t)=Ae^{-iEt/\hbar}$ y

H ψ = E ψ

$H\psi=E\psi$ .

Esto es interesante, pero no responde del todo a mi pregunta: ¿por qué el argumento de que $H\psi=0$ no funcionan, y ¿qué pasa con las soluciones que no son separables?

Coraje

Porque deberia

H ψ

$H\psi$ ser igual a cero? Querías decir

H Ψ = 0

$H \Psi = 0$ ?

preferido_anon

Bueno, sí, pero a lo que me refiero es "¿por qué no asumir

Ψ (x, t) = ψ (x)

$\Psi(x,t)=\psi(x)$ es independiente del tiempo dan lugar a la ecuación independiente del tiempo

H ψ = 0

$H\psi=0$ ?"

kyle kanos

¿Por qué no puede haber un valor propio distinto de cero asociado con el operador espacialmente dependiente?

preferido_anon

Por supuesto que puede , pero no veo cómo surgirían valores propios distintos de cero en esa situación. Es decir, hacer que el SE dependiente del tiempo sea independiente del tiempo no parece dar el SE independiente del tiempo (el problema del valor propio).

kyle kanos

Piense linealmente algebraicamente :

A v = λ v

$A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ es el problema general de valores propios, ¿no? en gestión de calidad,

A \equiv H

$A\equiv H$ ,

ψ \equiv v

$\psi\equiv\mathbf v$ y por lo tanto,

E \equiv λ

$E\equiv\lambda$ que sería cero para casos particulares y no la solución general.

Respuestas (2)

Ecuaciones de Schrödinger dependientes e independientes del tiempo

Porque deberia $H\psi$ ser igual a cero? Querías decir $H \Psi = 0$ ?
Bueno, sí, pero a lo que me refiero es "¿por qué no asumir $\Psi(x,t)=\psi(x)$ es independiente del tiempo dan lugar a la ecuación independiente del tiempo $H\psi=0$ ?"
¿Por qué no puede haber un valor propio distinto de cero asociado con el operador espacialmente dependiente?
Por supuesto que puede , pero no veo cómo surgirían valores propios distintos de cero en esa situación. Es decir, hacer que el SE dependiente del tiempo sea independiente del tiempo no parece dar el SE independiente del tiempo (el problema del valor propio).
Piense linealmente algebraicamente : $A\mathbf v=\lambda\mathbf v$ es el problema general de valores propios, ¿no? en gestión de calidad, $A\equiv H$ , $\psi\equiv\mathbf v$ y por lo tanto, $E\equiv\lambda$ que sería cero para casos particulares y no la solución general.

una mente curiosa · Answer 1

El "independiente" en "ecuación de Schrödinger independiente del tiempo" no significa que la función de onda $\psi(x,t)$ es independiente del tiempo, pero que el estado cuántico que define no cambia con el tiempo.

Desde $\psi(x)$ y $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\psi(x)$ para cualquier $\phi\in\mathbb{R}$ definir el mismo estado cuántico, esto no implica $\partial_t\psi(x,t) = 0$ . De hecho, como muestra la solución, la dependencia del tiempo $\mathrm{e}^{\mathrm{i}Et}$ es precisamente el tipo de dependencia que se permite.

timeo · Answer 2

Para entender lo que está pasando tienes que distinguir una definición de una ecuación.

Como ejemplo se podría considerar la ecuación del calor $\partial_{xx}u=k\partial_t u.$ Ambos lados tienen su propio significado, y la ecuación dice que para la solución de la ecuación del calor, las dos cosas son iguales. Primero debe poder calcular el lado izquierdo (segunda derivada) y calcular el lado derecho (derivada simple) y luego cualquier cosa que no pueda hacer que sean iguales (y hay muchas funciones de este tipo) simplemente se elimina por no siendo las soluciones que buscas.

Entonces, en particular, el hamiltoniano (como $\partial_{xx}$ ) es algo propio y no está definido por la ecuación de Schrödinger, solo proporciona el lado izquierdo.

Así que cuando escribes

H Ψ = i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t}

$H\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$ el lado izquierdo tiene un significado y el significado no es tomar una única derivada de tiempo. Su significado es tomar múltiples derivadas espaciales y hacer otras cosas.

Si tomó una solución independiente de tiempo distinto de cero para $H\psi=E\psi$ con energía distinta de cero $E$ entonces te darías cuenta enseguida de que $H\psi=E\psi \neq0=i\hbar\partial_t \psi$ lo que significa que la función simplemente no es una solución a la ecuación dependiente del tiempo.

Al igual que la mayoría de las funciones no son una solución a la ecuación del calor.

si lo permitimos $\Psi$ ser independiente del tiempo (que es mi interpretación de una 'ecuación independiente del tiempo'), entonces ¿por qué no obtenemos simplemente $H\Psi=0$ ?

Eso no es lo que significa una ecuación independiente del tiempo. Eso es buscar un equilibrio o estado estacionario. Una vez más, vuelve a la ecuación del calor. Eso es usar la ecuación dependiente del tiempo para buscar soluciones particulares a la ecuación dependiente del tiempo que resultan ser independientes del tiempo. Eso no es lo que estamos haciendo. Estamos haciendo una ecuación diferente.

No estamos requiriendo eso $\psi$ ser independiente del tiempo y ser una solución a $H\psi=i\hbar\partial_t \psi.$ Requerimos que sea independiente del tiempo y una solución a una ecuación completamente nueva y diferente, $H\psi=E \psi.$

¿Por qué? Porque entonces puedes resolver las ecuaciones separables como las describe poniendo una dependencia del tiempo particularmente simple.

¿Qué pasa con las soluciones que no son separables?

Si toma sus condiciones iniciales, entonces puede escribir es como una combinación (lineal) de soluciones a la ecuación independiente del tiempo. Luego, cuando escribe la combinación (lineal) correspondiente de soluciones separables, obtiene una solución para la ecuación dependiente del tiempo que coincide con sus condiciones iniciales.

Y a menudo, eso es todo lo que realmente quieres. Y podrías hacer lo mismo con la ecuación del calor.

No creo que eso responda a mi pregunta, intentaré explicarlo: entiendo que tenemos dos ecuaciones, la SE independiente del tiempo y la dependiente del tiempo (las llamaré TISE y TDSE por brevedad). Mi punto es que deberíamos poder recuperar el TISE eliminando todas las dependencias a tiempo del TDSE. Pero si realmente hacemos eso, obtenemos la ecuación $H\psi=0$ , en lugar del TISE $H\psi=E\psi$ que esperaríamos.
Para continuar con tu analogía con la ecuación del calor, sería como llamar $\nabla^{2}u=k\dot{u}$ la "ecuación del calor dependiente del tiempo". Entonces en estado estacionario obtendríamos la ecuación independiente del tiempo $\nabla^{2}u=0$ . no lo conseguiríamos $\nabla^{2}u=\lambda u$ , que es lo que parece ocurrir en este caso.
@DanielLittlewood Si su pregunta fue sobre terminología todo el tiempo, entonces ACuriousMind respondió su pregunta. Pero debería haber usado la terminología de etiqueta o la etiqueta de pregunta blanda o decir eso. No obtienes una ecuación independiente del tiempo tratando de encontrar soluciones independientes del tiempo de la ecuación original. Es una ecuación diferente . Sus soluciones se pueden usar para encontrar soluciones a la ecuación más compleja. Y la ecuación más compleja se puede interpretar diciendo cómo evolucionan las ondas en el tiempo a partir de las condiciones iniciales dadas, y las soluciones al TISE evolucionan de la forma más sencilla.

Ecuaciones de Schrödinger dependientes e independientes del tiempo

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Coraje

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kyle kanos

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una mente curiosa

timeo

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