Evolución temporal de un paquete de ondas

Question

jimmy360

no entiendo porque si $H\psi = E\psi$ , entonces la evolución temporal de la función de onda viene dada por $e^{-iEt/h}\psi(x)$ .

Esa fórmula para la dependencia del tiempo solo es válida para estados propios y solo para hamiltonianos independientes del tiempo.

Esa fórmula para la dependencia del tiempo solo es válida para estados propios y solo para hamiltonianos independientes del tiempo.

danielsmw · Answer 1

La ecuación que has dado es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es

i ℏ \dot{ψ} = H ψ

$i \hbar \dot{\psi} = H \psi$ que puede resolver fácilmente para obtener la dependencia del tiempo (cuando

ψ

$\psi$ es un estado propio) que solicitó en la pregunta. Más generalmente, puedes resolverlo para mostrar que

\exp (- i \hat{H} t / ℏ)

$\exp\left(-i\hat{H}t/\hbar\right)$ es el generador de la evolución temporal, es decir, el operador que toma

ψ (t = 0) \mapsto ψ (t)

$\psi(t=0)\mapsto\psi(t)$ .

una pregunta · Answer 2

Resolver SE dependiente del tiempo como danielsmw mencionó anteriormente es un buen punto de partida.

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = H ψ

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi$

\frac{d ψ}{ψ} = \frac{H}{i ℏ} d t

$\frac{d\psi}{\psi}=\frac{H}{i\hbar}dt$

yo o gramo (ψ) ∣_{ψ_{0}}^{ψ} = - \frac{i H t}{ℏ} ∣_{t_{0}}^{t}

$log(\psi)\mid^{\psi}_{\psi_{0}}=-\frac{iHt}{\hbar}\mid^{t}_{t_0}$ suponer

ψ = | α, t >

$\psi=|\alpha,t>$ y

ψ_{0} = | α, t_{0} >

$\psi_{0}=|\alpha, t_{0}>$

ψ = {mi}^{- \frac{i H (t - t_{0})}{ℏ}} ψ_{0}

$\psi=e^{-\frac{iH(t-t_{0})}{\hbar}}\psi_0$ Bajo cambios infinitesimales de tiempo (dt), operador de evolución temporal,

yo i {metro}_{d t \to 0} tu (t_{0} + d t, t_{0}) = 1

$lim_{dt\to 0}U(t_{0}+dt, t_{0})=1$

tu (t_{0} + d t, t_{0}) = 1 - i GRAMO d t

$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-iGdt$ para

G = \frac{H}{ℏ}

$G=\frac{H}{\hbar}$ ,

tu (t_{0} + d t, t_{0}) = 1 - i \frac{H}{ℏ} d t \sim mi X pag (- i \frac{H}{ℏ} d t)

$U(t_{0}+dt, t_{0})=1-i\frac{H}{\hbar}dt \sim exp(-i\frac{H}{\hbar}dt )$ Para una buena orientación, recomiendo JJSakurai Capítulo 2.