¿Por qué iℏ∂∂tiℏ∂∂ti\hbar\frac{\partial}{\partial t} no se puede considerar el operador hamiltoniano?

1. Si uno a priori declara erróneamente que el operador hamiltoniano$\hat{H}$ es la derivada del tiempo$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$, entonces la ecuación de Schrödinger

   $$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{1}$$ se convertiría en una tautología. Tal ecuación trivial de Schrödinger no podría usarse para determinar la evolución en el tiempo futuro (ni pasado) de la función de onda$\Psi({\bf r},t)$.

2. Por el contrario, el operador hamiltoniano$\hat{H}$es típicamente una función de los operadores$\hat{\bf r}$y$\hat{\bf p}$, y la ecuación de Schrödinger

   $$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}\tag{2}$$ es un requisito no trivial para la función de onda$\Psi({\bf r},t)$.

3. Entonces, uno puede preguntarse por qué está bien asignar el operador de momento como un gradiente

   $$\hat{p}_k~=~ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial r^k}~?\tag{3}$$ (Esto se conoce como la representación de Schrödinger). La respuesta se debe a las relaciones de conmutación canónicas $$[\hat{r}^j, \hat{p}_k]~=~i\hbar~\delta^j_k~\hat{\bf 1}.\tag{4}$$

4. Por otro lado, la correspondiente relación de conmutación para el tiempo$t$es

   $$[\hat{H}, t]~=~0, \tag{5}$$ porque el tiempo$t$es un parámetro, no un operador en la mecánica cuántica, consulte también esta y esta publicación de Phys.SE. Nótese que en contraste $$\left[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}, ~t\right]~=~i\hbar,\tag{6}$$ lo que también muestra que uno no debe identificarse$\hat{H}$y$i\hbar \dfrac{\partial}{\partial t}$.

No se puede "cancelar" la función de onda en la ecuación de Schrödinger porque la función de onda es la principal variable de la misma. Es una ecuación para la función de onda.

La derivada temporal no puede considerarse un operador porque un operador es, por definición, un mapa único bien definido

No hay analogía entre la de Newton$F=ma$y la ecuación de Schrödinger, excepto que ambas son ecuaciones. Una mejor contrapartida cuántica de las ecuaciones de Newton serían las ecuaciones de Heisenberg para los operadores en lugar de la ecuación de Schrödinger. Bueno, una analogía muy suave, que probablemente existiría en cualquier ecuación, es que uno necesita tener un$x,p$-fórmula dependiente para la fuerza$F$para calcular un determinado$x(t)$; de la misma manera, se necesita una elección particular del hamiltoniano para calcular$|\psi(t)\rangle$. Pero es cierto en cualquier ecuación: todos los atajos deben explicarse completamente para que la ecuación tenga un sentido realmente bien definido y se aplique específicamente a un sistema en particular.

Matemáticamente$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$es un operador diferencial. llamémoslo$\hat{E}$:

Sin embargo, decir que$\hat{E}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$solo dice eso$\hat{E}\psi\equiv i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi$y aún no es una ecuación (es una tautología como señaló Qmechanic). De las ecuaciones diferenciales sabes que, por ejemplo, para$\hat{L}:= \frac{d}{dx}$,$\hat{L}\psi(x)\equiv \frac{d\psi(x)}{dx}$no es una ecuacion En cambio,$\hat{L}\psi(x)=0=0\cdot \psi$es una ecuación y, por supuesto, no significa que$\frac{d}{dx}= 0$. O mejor, tomar el Lapalaciano en dos dimensiones$\nabla^2\equiv\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$. Entonces la ecuación de Laplace es

Puedes reescribirlo como

Obviamente no significa que$\frac{\partial^2}{\partial x^2}= -\frac{\partial^2}{\partial y^2}$, significa que actuando por$\hat{L}_1:=\frac{\partial^2}{\partial x^2}$en$\psi$te da la misma función que actuar sobre$\psi$por$\hat{L}_2:=-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$:

es decir$\hat{L}_1\equiv\hat{L}_2$, pero no en general, solo en un espacio funcional específico de funciones$\psi$tal que$\hat{L}_1\psi=\phi=\hat{L}_2\psi$.

En el caso de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo tenemos dos operadores$\hat{E}$y$\hat{H}$(como$\hat{L}_1$y$\hat{L}_2$en nuestro ejemplo anterior) actuando sobre$\psi$llevando al mismo resultado$\phi$:

El propósito del hamiltoniano es determinar la evolución temporal$\frac{\partial}{\partial t}$, y por lo tanto usando$\frac{\partial}{\partial t}$en sí mismo como hamiltoniano es " inútil ". Más aún porque todos los sistemas, independientemente de la física subyacente, tendrían el mismo hamiltoniano.

Lo que quiere es una expresión que, dependiendo de la física particular, prediga la evolución del tiempo utilizando cantidades que ya se conocen antes de que ocurra realmente la evolución del tiempo.

Saludos, hans

Aunque no está directamente relacionado con la pregunta que nos ocupa, me gustaría hacer el comentario de que el operador de cantidad de movimiento no surge necesariamente al imponer un conmutador. Surge de la siguiente manera:

Comience definiendo un operador de traducción que actúe en un campo (considere primero el caso simple):

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x+a)$

Expandir como:

$\hat{T}_a\psi(x)=\psi(x)+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...$

=$[I+a\psi'(x)+ \frac{a^2\psi''(x)}{2!}+...]\psi(x)$

Llamar al operador derivado$\hat{D}$. Usando la notación para un exponencial podemos escribir eso como:

$\hat{T}_a\psi(x)=e^{a\hat{D}}\psi(x)$

Ahora tenemos que el operador diferencial es el generador infinitesimal de traslación.

Para mantener el operador de traducción hermitiano redefinimos definir un nuevo operador$\hat{p}=i\hat{D}$.

Esto se identifica entonces con la cantidad física "momento" si la variable x describe "posición". Hay mucho más en esto y tal vez editaré esta publicación cuando tenga tiempo.

El punto que deseo hacer es que$i$Los 's no se agregan a mano de manera ad-hoc, pero hay un propósito para hacer tales sustituciones.

Durante mucho tiempo estuve insatisfecho con la forma en que los libros de texto de QM abordan el tema de los operadores. Nadie me dijo esto en la clase de QM de introducción. Tuve mucha suerte de tener un excelente profesor de física matemática para explicarme esto. ¡Excelente clase y excelente profesor!

La ecuación de Schrödinger no es realmente una PDE. Es una ODA. La ecuación de Schrödinger es$i\hbar \frac{d}{dt} | \psi\rangle = \hat H | \psi\rangle$. Aquí el vector de estado$| \psi\rangle$es un$\mathcal H$-función valorada de una sola variable independiente$t$y$\mathcal H$es algún espacio de Hilbert y$\hat H$es un operador en ese espacio de Hilbert. Solo hay una variable independiente, por lo que es una EDO.

Ahora, el operador$\hat H$suele ser una función de operadores$\hat x, \hat p$que satisfacen$[\hat x, \hat p] = i\hbar$(y también a otros operadores les gusta el giro, y posiblemente también$t$). Debido al teorema de Stone-von Neumann , dichos operadores siempre se pueden poner en una forma en la que para los estados propios del operador$\hat x$, decir$|x\rangle$,

De todos modos, si usa (1), a menudo puede escribir la ecuación de Schrödinger como

Muchas respuestas le dieron explicaciones detalladas que son buenas. Sin embargo, también hay razones simples. Al contrario de lo que se ha dicho, creo que tu analogía te lleva por el buen camino.

Tal como mencionas, la segunda ley de Newton no pretende encontrar$F$. Todavía,$F$no debe tomarse como lo mismo que $ma$.$F$es una abstracción de algo más que se debe conectar allí, que representa la cantidad de interacciones o perturbaciones que los elementos externos ejercen sobre la partícula. De acuerdo con la configuración de uno,$F$será reemplazado por la función correcta$f(x, \dot x,t)$. Por ejemplo, si la configuración de uno es elástica, la ecuación de la segunda ley de Newton se conectaría con la ley de Hooke. Lo mismo sucede si la interacción es gravitatoria, eléctrica, etc. Entonces,$F$podría tener muchos sabores distintos, a veces tan fundamentalmente diferentes como la gravedad y el electromagnetismo (al menos por el momento) dependiendo de su experimento.

Ahora en$\hat{H}\Psi~=~i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t}$, El lado derecho de esa ecuación no debe tomarse como el mismo lado izquierdo de esa ecuación.$\hat H$es una abstracción de algo más que también debería estar conectado allí. Por ejemplo, si se trata de partículas simples no relativistas,$\hat H$debe ser reemplazado por el hamiltoniano de Schroedinger. Para un campo electromagnético no relativista, se reemplaza por el operador de Pauli, lo mismo ocurre con el hamiltoniano de Dirac.

En cualquier formalismo en el que un espacio de estados de Hilbert se asocie con un hiperplano similar al espacio, lo que ciertamente es el caso en su ejemplo de la ecuación de Schrödinger, el tiempo es un parámetro que selecciona un espacio de Hilbert$\mathcal{H}_t$. En ese caso, las Respuestas de Lubos y Qmechanic describen bastante bien la situación.

En la teoría cuántica de campos, ciertamente en los formalismos más utilizados, el espacio de estados de Hilbert todavía está asociado con un hiperplano similar al espacio (y la covarianza de Lorentz de estos formalismos es algo problemática), de modo que nuevamente el tiempo es un parámetro, y nuevamente las respuestas de Lubos y Qmechanic son buenas. Sin embargo, es posible construir formalismos en los que un espacio de Hilbert esté asociado con todo el espacio-tiempo, en cuyo caso las traducciones de tipo temporal y espacial son mucho más directamente comparables. hay _una diferencia entre las traducciones de tipo temporal y espacial debido al diferente signo de la métrica para los dos casos, sin embargo, la traducción de tipo temporal se puede presentar como un operador que actúa en un espacio de Hilbert, tal como lo hacen las traducciones de tipo espacial. Sin embargo, es discutible que no haya una ecuación de Schödinger en tales formalismos, lo que se sale de su pregunta (y, por lo tanto, esto solo será una digresión confusa, pero, si se lo pregunta, estas matemáticas están ahí fuera ...).

Todo esto es lo suficientemente bueno como matemáticas, y espero que ver el contraste ayude, pero la construcción alternativa, como la describí anteriormente, no ha encontrado una aplicación útil como descripción física.

El problema más profundo con esta suposición es que asume una identidad conceptual entre las nociones de hamiltoniano y energía, y esta es una identidad que no es correcta. Es decir, se necesita aplicar el discernimiento para separar las dos cosas.

Conceptualmente, la energía es una cantidad física que es, en cierto sentido, "dinero de la naturaleza", la "moneda" que tienes que gastar para producir cambios físicos en el mundo. En un nivel algo más profundo, la energía es al tiempo lo que el impulso es al espacio. Esto se puede ver en muchas áreas, como el teorema de Noether, que relaciona la ley de conservación de la energía con el hecho de que la historia de un sistema se puede traducir de un lado a otro en el tiempo y seguir funcionando de la misma manera, es decir, que no hay punto preferido en el tiempo en las leyes de la física, y del mismo modo, lo mismo para el momento, ya que se traslada en el espacio y sigue funcionando de la misma manera. También ocurre en la relatividad, en la que el "cuatro impulso" incorpora energía como su componente temporal.

El hamiltoniano, por otro lado, es una versión matemáticamente modificada del lagrangiano, a través de lo que se llama la transformada de Legendre. El lagrangiano es una forma de describir cómo esas fuerzas afectan la evolución temporal de un sistema físico en términos de un proceso de optimización, y el hamiltoniano convierte esto directamente en un proceso de ecuación diferencial a menudo más útil/intuitivo. En muchos casos, el hamiltoniano es igual a , la energía mecánica total del sistema$E_\mathrm{mech}$, es decir$K + U$, pero esto no siempre es así , incluso en la mecánica hamiltoniana clásica, un hecho que indica y subraya la separación conceptual básica entre los dos.

En mecánica cuántica, el concepto de "energía es al tiempo lo que el impulso es al espacio" se manifiesta en que es el generador de traslación temporal , o el generador de evolución , de la misma manera que el impulso es el generador de traslación espacial . En particular, así como tenemos un "operador de cantidad de movimiento"

que traduce una función de onda de posición-espacio (aquí usando una dimensión para simplificar) (representación matemática de información restringida con respecto a la posición de la partícula por parte de un agente)$\psi$a través de la "ecuación infinitesimal" algo suelta

por traducirlo con un pequeño empujón hacia adelante$dx$, así mismo nos gustaría tener un operador de energía

que hace lo mismo pero para la traslación con respecto al tiempo (el cambio de signo se debe a que solemos considerar un avance temporal desde$t$a$t + dt$, a diferencia de preferir psicológicamente [quizás también psicoculturalmente] que los movimientos espaciales se dirijan hacia la derecha, en nuestras descripciones de las cosas). El problema aquí es que las funciones de onda generalmente no contienen un parámetro de tiempo, y al menos la mecánica cuántica no relativista trata el espacio y el tiempo por separado, por lo que lo anterior no puede ser un verdadero operador en el espacio de estado del sistema. Más bien, es más un "pseudo-operador" que "quisiéramos" tener pero "realmente" no podemos por esta razón. Cabe señalar que esta es la expresión que aparece a la derecha de la ecuación de Schrödinger, que por lo tanto podríamos escribir "mejor" como

dónde$\psi$ahora es una secuencia temporal de funciones de onda (es decir, una "función curry", que se convierte en una función "ordinaria" cuando considera las funciones de onda como vectores de Hilbert independientes de la base). El operador hamiltoniano$\hat{H}$ es un operador de buena fe , que actúa solo sobre la información de configuración "presente" del sistema. Lo que esta ecuación "realmente" dice es que para que una serie de tiempo de este tipo represente una evolución física válida, el hamiltoniano también debe poder traducirla a través del tiempo. La distinción entre hamiltoniano y energía se manifiesta en que el hamiltoniano no traducirá todas las secuencias de tiempo, mientras que el pseudooperador de energía sí lo hará , al igual que el operador de impulso traducirá todas las funciones de onda espacial . Además, pueden ser posibles muchos hamiltonianos que den lugar al mismo espectro de energía.

Debido a que estas dos cosas son diferentes, no tiene sentido equipararlos como operadores, como se sugiere. Puedes y debes tener$\hat{H}[\psi(t)] = [\hat{E}\psi](t)$, pero no deberías tener$\hat{H} = \hat{E}$!

La respuesta corta es, porque es idénticamente cero.

Si dices «operador», tienes que poder especificar, ¿ en qué espacio opera?

Simplificando un poco la respuesta de Peter Morgan, aquí se supone que el hamiltoniano es un operador en el espacio de Hilbert de vectores de estado (o funciones de onda) del sistema. En tu caso, este espacio de Hilbert es un espacio de funciones de tres variables,$x$,$y$, y$z$. Se podrían denotar$\psi(x,y,x)$, por ejemplo,

La respuesta a la pregunta principal es en realidad muy corta. El tiempo es un parámetro externo en QM convencional; parametrización de una evolución unitaria. Eso, así como$i\partial_t$, nada tiene en común con operadores, observables, etc. En otras palabras$t$en$\psi(t)$no enumera algunos vectores base de un observable como$x$hace en$\psi(x)$.

preguntando por qué

Creo que tu respuesta es correcta. La definición es materia. El hamiltoniano es un operador de energía total por definición. Asumiendo$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$es un hamiltoniano conduce a problemas ya que esta expresión no contiene la información sobre la energía del sistema que consiste en partes cinéticas y potenciales dependiendo de la configuración del sistema.

Dado que el tiempo no es una variable dinámica en QM como$x$o$p$. Por lo tanto, no existe un teorema espectral en términos de tiempo. El operador"$i\hbar \partial_t$es un método recién postulado para dejar caer la energía total como un valor promedio. Seguramente hay un conjunto de energías para cada conjunto de estados propios, pero esas energías están determinadas por el operador hamiltoniano.

Aunque ya está contenido implícitamente en otras respuestas, pensé que solo explicaría mi punto de vista explícitamente aquí.

El estado de una partícula se caracteriza por un vector de estado . Las cantidades observables están representadas por operadores lineales en los vectores, y los valores medibles son los valores propios de los operadores lineales. El estudio de la mecánica cuántica consiste en determinar cómo el vector de estado y, por lo tanto, los valores medibles, cambian con el tiempo . En particular, el tiempo no es un observable, es decir, no se puede hablar del tiempo de una partícula como su posición o su cantidad de movimiento, porque debería existir un vector de estado para todo el tiempo.

Ahora bien, cuando decimos$\hat x = x$y$\hat p = -i\hbar \partial_x$, estamos hablando de operaciones que convierten vectores en otros vectores. cuando hablamos de$\partial_t$en mecánica cuántica, sin embargo, estamos comparando el mismo vector consigo mismo , solo que en momentos diferentes. Por esta razón, una derivada temporal no puede considerarse un operador en absoluto.