¿Es esta una prueba de la hermeticidad de Griffith? [duplicar]

En las páginas introductorias del libro de Griffith sobre Mecánica Cuántica, dice:

¡Pero espera un minuto! Supongamos que he normalizado la función de onda en el tiempo t = 0 . ¿Cómo sé que se mantendrá normalizado a medida que pasa el tiempo y Ψ evoluciona?

Luego pasa a demostrar que

( 1 )                                   d d t   ( ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( X , t ) | 2 d X ) = 0

De ( 1 ) , argumenta que si

                                      ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( X , t = 0 ) | 2 d X = 1
entonces,
        ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( X , t ) | 2 d X = 1

Básicamente, para probar que Ψ ( X , t ) está normalizado que usa ( 1 ) pero para demostrar ( 1 ) el constriñe Ψ ( X , t ) ser normalizado diciendo que,

d d t   ( ∫ − ∞ ∞ | Ψ ( X , t ) | 2 d X ) = i ℏ 2 metro | ( Ψ ∗ ∂ Ψ ( X , t ) ∂ X − Ψ ∂ Ψ ∗ ( X , t ) ∂ X ) | − ∞ ∞ = 0

Para la igualdad anterior argumenta:

Pero Ψ ( X , t ) debe ir a cero cuando x va a ( + o − ) infinito; de lo contrario, la función de onda no sería normalizable.

Escribir toda la derivación exacta lleva tiempo, por lo que he resumido las principales preocupaciones anteriores y adjunto una imagen clara y visible de su prueba a continuación:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Tengo problemas con la justificación de [1.26].

A mi me parece que esta es una prueba circular ya que para forzar eso Ψ ( X , t ) (que es la función de onda en cualquier momento arbitrario ) debe ir a cero como X va al infinito tenemos que suponer que Ψ ( X , t ) debe ser normalizado que es lo que estamos tratando de probar!

¿Está suelta esta prueba o me estoy perdiendo/entendiendo mal algo obvio?

Por favor, no publiques imágenes de los textos que quieras citar , sino escríbelo para que sea legible para todos los usuarios y para que pueda ser indexado por los motores de búsqueda. Para fórmulas, use MathJax en su lugar. Tenga en cuenta que su resumen realmente no ayuda a las personas que no pueden ver la imagen porque se refiere a [1.26] en su pregunta real y el único lugar donde aparece ese identificador es en la imagen.
Consulte physics.stackexchange.com/q/382324/50583 para ver discusiones sobre la noción de que "las funciones de onda deben desaparecer en el infinito"

Respuestas (1)

el no dice eso Ψ ( X , t ) debe ser normalizado; él dice que debe ser normalizable , lo que significa que

∫ − ∞ ∞ | Ψ ( X , t ) | 2 d t < ∞ .

es fácil ver por qué Ψ ( X , t ) debe ser normalizable. Se supone que la función de onda está normalizada en t = 0 , y, dado que la función de onda evoluciona continuamente según la ecuación de Schrödinger, se deduce que la función de onda debe tener una norma finita para todo t > 0 , lo que, por definición, significa que se cumple la ecuación anterior. Es a partir de la normalizabilidad que Griffiths argumenta que la función de onda debería desaparecer en el infinito (aunque, como se menciona en los comentarios de su pregunta, las funciones de onda no necesariamente tienen que desaparecer en el infinito para ser normalizables).

Desde "la función de onda se desvanece en el infinito", argumenta que está normalizada , no normalizable.
¡Correcto! Vista panorámica alucinante.
La continuidad no es suficiente para garantizar que una función de onda normalizable permanezca así. Considere la supuesta función de onda ψ ( X , t ) ∝ ( 1 + ( k X ) 2 ) t / T . Esto es normalizable hasta el momento t = T / 4 pero luego deja de serlo. La demostración de Griffiths no es del todo segura.
Lo sentimos, el exponente debe tener un signo menos.
@tparker Hay dos cosas aquí, por lo que puedo ver: (1) Normalizabilidad : D..J. comienza con una función de onda normalizable y asume que así será en todos los momentos posteriores. ..(2) ¿Normalizado o no? : DJ comienza con una función de onda normalizada y el uso de (1) muestra que permanece normalizada para todos los tiempos posteriores.
@tparker Parece que te opones a la suposición en (1). Mi pregunta fue simplemente una estúpida omisión de palabras que se respondió satisfactoriamente aquí, pero ahora, a partir de su comentario, resulta que en realidad hay una suposición injustificada que usa DJ. Muchas gracias por señalarlo.
@tparker Supongo que, en general, al hacer QM, rara vez encontramos funciones de onda del tipo que mencionó (?), ¿Pero el formalismo de QM permite tales funciones de onda?
@tparker Si consideramos la interpretación estadística de Born de la función de onda, entonces, es necesario que la función de onda sea normalizable.
@Lost Sí, como usted dice, Griffiths demuestra que si la función de onda permanece normalizable con el tiempo, también permanece normalizada . Pero en realidad no prueba que permanezca normalizable con el tiempo.
@Lost Pero resulta que este siempre es el caso, por lo que la función de onda siempre permanece normalizada. La razón técnica de esto, que desafortunadamente podría ser demasiado avanzada para alguien que acaba de empezar en QM, es el hecho de que el hamiltoniano es un operador hermitiano. Este hecho y la ecuación de Schrödinger juntos implican que el operador de evolución temporal es unitario, lo que significa que los estados permanecen normalizados en el tiempo. En realidad, puede probar esto únicamente utilizando el hecho de que el hamiltoniano es un operador hermitiano, que asume cualquier detalle sobre su forma particular. Pero esto
requiere conceptos un tanto abstractos como el formalismo de vector de estado de QM. No es demasiado difícil, requiere un poco de configuración, a la que probablemente llegará pronto si aún no lo ha hecho.
@tparker Gracias. Leí sobre la derivación que mencionaste y ahora está claro cómo el estado permanece normalizado debido a SE y Hermiticidad del hamiltoniano. Una cosa que quería aclarar era: ¿Qué pasa con la normalización ahora? Y la función de onda que mencionaste... ¿es una función de onda permitida en QM? Claramente deja de ser parte de L 2 después de un cierto tiempo como usted mencionó.
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