Teoría especial de la relatividad: 4-Vector y 4-velocidad

Como dices posiciones de coordenadas individuales$\vec{s}$no son invariantes, solo la magnitud de los intervalos de espacio-tiempo$\Delta \vec{s}\cdot\Delta\vec{s}$son invariantes.

De manera similar, la velocidad coordenada$\vec{u}$no es invariante. Diferentes observadores que se mueven a diferentes velocidades con sus ejes orientados en diferentes direcciones no podrán ponerse de acuerdo sobre los componentes individuales de la velocidad coordinada de un objeto. Todos estarán de acuerdo en la magnitud de la velocidad 4, que se puede encontrar a partir del producto escalar$\vec{u}\cdot\vec{u}$.

4-velocidad se define$\frac{d\vec{s}}{d\tau}$. Recordar,$d\vec{s}$solo no es invariante, pero$d\vec{s}\cdot d\vec{s}$es.$|\vec{u}|^2 = \frac{d\vec{s}}{d\tau}\cdot \frac{d\vec{s}}{d\tau}$es demasiado.

Sabemos que el producto escalar de cuatro dimensiones es invariante bajo la transformación de coordenadas, por lo tanto, el intervalo de espacio-tiempo y el tiempo propio también son invariantes.

Correcto. Intervalo de espacio-tiempo en$(-,+,+,+)$la firma es$ds^2 = -c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$y es invariante de Lorentz , y por definición, tiempo propio$d\tau = \frac{\sqrt{-ds^2}}{c}$también es invariante .

Dado que la velocidad 4 está dada por el intervalo de espacio-tiempo dividido por el tiempo propio. Entonces, ¿por qué la velocidad 4 no es invariante?

No, 4 velocidades es$\vec u = \frac{\vec {ds}}{d\tau} = (\gamma, \gamma \frac{\vec v}{c})c$. Ahora bien, esto no puede ser invariante para todos los casos, precisamente debido a la dilatación del tiempo. Puede ser en caso de que el factor de dilatación del tiempo sea uno o equivalente$v = 0$donde el marco de referencia del observador no se mueve en absoluto. Esto debería ser cierto, tal como se esperaba.