Definición geométrica del producto interior de Lorentz

El tensor métrico de Minkowski $\mathbf \eta$toma dos cuatro vectores como argumentos y produce un número real, el producto interno de los dos vectores:

donde la forma única $\tilde u$es dado por

Geométricamente, esto se representa como contar el número de superficies de la forma única.$\tilde u$'atravesado' por el vector$\vec v$.

Credito de imagen

Si y no.

En primer lugar, la proyección es una operación que toma un vector y da otro vector que vive en un subespacio. Proyectar no da una longitud (aunque se puede hablar de la longitud de la proyección s).

Y a veces la gente habla de diferentes tipos de proyecciones, pero la primera (y única) proyección que mucha gente aprende es la proyección ortogonal, por lo que algunas personas piensan que la proyección es la única y hay que tener cuidado, ya que las personas pueden significar diferentes cosas con la palabra proyección. Pero una proyección siempre toma un vector y da un vector.

Tomar un producto interno (o una forma bilineal) toma dos vectores y da un escalar. Una forma es hablar sobre la longitud de la proyección de uno a otro, pero aún necesita una señal.

Para muchas situaciones, nada cambia, puede imaginar el subespacio en el que se proyecta e imagina su complemento ortogonal (si su proyección no es ortogonal, imagina un complemento más general), luego expresa el vector que se proyectará como una suma de dos vectores uno de cada uno de los dos subespacios y luego la proyección toma ese vector del espacio correcto.

Pero eso falla si lo que estás proyectando es como la luz. Específicamente, el hiperplano de vectores que son métricamente ortogonales a un vector similar a la luz contiene el vector similar a la luz.

Si intentaste proyectar un vector similar a la luz sobre sí mismo, está en el espacio abarcado por el vector y también está en el espacio de las cosas ortogonales al vector. Es ortogonal a sí mismo.

Entonces, puede proyectar si tiene un espacio complementario, pero el conjunto si el vector ortogonal no complementa el vector similar a la luz. Entonces las proyecciones ortogonales fallan.

Dado que el producto interno es simétrico, podría proyectarse sobre el otro a menos que ambos sean similares a la luz. O dado que el producto interno es bilineal, puede definirlo de la manera estándar con proyecciones ortogonales en vectores temporales y espaciales y luego usarlos algebraicamente para obtener el producto interno en todo.

También hay otros enfoques en los que el producto interno puede ser intrínseco a los vectores al hacer un producto geométrico en un espacio de combinaciones lineales de productos de vectores que tiene una multiplicación que es asociativa, lineal y distributiva y envía cada vector a su cuadrado métrico. cuando se multiplica por sí mismo. Y luego el producto interior aparece como el producto simétrico de vectores.

En ese caso, la implicación geométrica cae automáticamente porque los vectores ortogonales se producen para representar naturalmente el subespacio que abarcan y el producto de un vector con un subespacio da la suma del espacio más grande que abarcan (la parte del vector linealmente independiente del espacio da eso) y la parte abarcada por el espacio produce el subespacio de ese subespacio que es el complemento ortogonal de esa proyección.

Sí, usted puede hacer esto. En particular, si considera una función lineal que lleva dos vectores a los reales (o cualquier campo que le interese), e insiste además en que esta función es simétrica y que su representación en cualquier base es invertible (por lo que para cualquier base$\{\vec{e}_i\}$, la función se puede representar mediante una matriz$g^{ij}$, y esta matriz debe ser no singular), entonces es fácil mostrar que tal función tiene la mayoría de las propiedades de una métrica. La propiedad que puede no tener es la definición positiva/negativa.

Entonces hay un buen teorema (que es fácil de probar) que siempre puede encontrar una base para el espacio vectorial tal que los componentes de estas funciones tengan la forma$\textrm{diag}(1, \ldots, 1, -1, \ldots, -1)$. Si los signos son todos iguales (entonces todos$1$s o todo$-1$s) entonces esta es la métrica euclidiana ordinaria. Pero, lo que es más interesante, no hay muchos otros tipos posibles de (pseudo) métricas : puede caracterizar las posibilidades sumando la diagonal en cualquier base donde tenga la forma anterior, y en$4$dimensiones las únicas posibilidades son$4$,$2$,$0$y$-2$(igual que$2$),$-4$(igual que$4$).

La métrica de Minkowski es la$2$(o$-2$) caso.

Tenga en cuenta que aunque mencioné las bases aquí, nada de esto depende de la base.