Tensor métrico en SRT

Esa afirmación es una tontería.

Si bien es cierto que, en el espacio plano, los componentes de$g^{\mu\nu}$y$g_{\mu\nu}$son exactamente iguales, la ecuación$g^{\mu\nu} = g_{\mu\nu}$no es una ecuación válida - los índices no coinciden.

Como correctamente observas

desde$g_{\mu\nu}$es la matriz inversa de$g^{\mu\nu}$.

Primero una palabra sobre la notación. En relatividad especial, la métrica de Minkowski es$\eta_{\alpha\beta}$. La métrica curva de la relatividad general es$g_{\mu\nu}$. Muchos textos que solo usan la métrica de Minkowski no hacen esa distinción por alguna razón. Sin embargo, cuando llega a la teoría de cuerdas y hay cuatro métricas diferentes dando vueltas, es importante mantener las cosas en orden llamando$\eta_{\alpha\beta}$la métrica plana del espacio-tiempo. Esta es una gran manía mía.

Segundo motivo favorito: la afirmación de que los tensores co y contravariante son iguales es basura. Los componentes son los mismos. Ni siquiera tiene sentido decir que dos tensores pertenecientes a diferentes álgebras tensoriales son iguales.

Ahora a tu pregunta. Eso es un error por parte del autor. Tienes toda la razón. Como has demostrado,