¿Por qué el término espacial para el gradiente de 4 contravariantes es negativo, mientras que para otros 4 vectores es la parte covariante la que es espacialmente negativa?

El 4-desplazamiento contravariante es:

X α = ( C t , r )

Y el gradiente 4 contravariante es:

∂ α = ( 1 C ∂ ∂ t , − ∇ )

Por lo que puedo deducir hasta ahora, otros 4 vectores contravariantes tienden a seguir el mismo patrón que para el desplazamiento: solo con el gradiente de 4 aparece la parte espacial negativa en la forma contravariante. ¿Puede alguien explicar por qué el negativo está en este, y no el gradiente covariante de 4 en su lugar?

¿Para qué se utiliza la convención de firma? η α β ?
Solo porque en presencia de una métrica, podemos convertir vectores en vectores duales (o "vectores contravariantes" en "vectores covariantes", si insiste) y viceversa, algunos objetos tienen un significado más natural en cierta "varianza" que otros. Por ejemplo, el tensor electromagnético F m v es naturalmente covariante. El operador derivado del espacio plano ∂ m naturalmente existe así, incluso sin una métrica, por lo que la derivada "contravariante" ∂ m es el que tendrá signos "antinaturales".

Respuestas (1)

Para darte una respuesta corta y directa. El gradiente es naturalmente un objeto covariante y parece que en la convención del texto que está leyendo, está trabajando en un espacio-tiempo de Minkowski (espacio-tiempo plano), con una métrica g (+,-,-,-) . Estoy seguro de que has oído hablar de la "gimnasia de índice" para la que se usa la métrica, como se enseña en la mayoría de las clases.

Entonces, por definición, el "socio" contravariante (cambiando el gradiente de covariante -> contravariante) tomará signos menos en los últimos 3 componentes, por lo tanto, el operador del negativo.

Para ser honesto, este es realmente un problema de convención, debido a las simetrías del espacio-tiempo (ST) de Minkowski y su métrica. En Minkowski ST, uno puede ser un poco flojo con sus vectores, contra y covariante y salirse con la suya permitida es consistente, sin embargo, en el espacio-tiempo curvo esta mala práctica conducirá a serias dificultades.

Espero que esta respuesta haya sido suficiente.

¿Por qué el término espacial para el gradiente de 4 contravariantes es negativo, mientras que para otros 4 vectores es la parte covariante la que es espacialmente negativa?
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