Vectores y producto escalar usando el tensor métrico - Transformación de coordenadas

a) Sí, esta ecuación es válida incluso cuando estamos en un sistema de coordenadas en el que la métrica no es la métrica de Minkowski. De hecho, dado que el producto interno de dos vectores es un escalar (y, por lo tanto, una cantidad invariante de coordenadas ), obtendrá exactamente el mismo valor en un sistema de coordenadas diferente.

b) Hay que tener cuidado aquí, el espacio de Minkowski se puede tratar como$\Bbb R^4$equipado con un producto interno (lo que lo convierte en un espacio vectorial), pero si desea hablar sobre vectores en diferentes puntos en el espacio de Minkowski, debe tratarlo como una variedad . En una variedad, cada punto tiene un espacio tangente que tiene una estructura de espacio vectorial que nos permite hablar justificadamente de vectores que no están "en el origen" o "en el mismo punto".

Incluso aquí debemos tener cuidado nuevamente, porque no necesariamente se nos permite comparar vectores en diferentes espacios tangentes si estamos trabajando, por ejemplo, en coordenadas esféricas (o si nuestro espacio-tiempo tiene curvatura).

c) El producto escalar es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

d), e), f) Estos problemas nuevamente se relacionan con el hecho de que estamos hablando del espacio de Minkowski como una variedad , no solo como un espacio vectorial (para el cual el concepto de tener dos vectores en dos puntos diferentes no está definido). Además, como dije anteriormente, no siempre se pueden comparar vectores que viven en diferentes espacios tangentes solo con una variedad, esto requiere una estructura adicional llamada conexión . Véase también la noción más familiar en física de una derivada covariante .

Como explicó Charlie, una forma de tratar el espacio-tiempo de Minkowski es como una variedad, que es lo que uno hace cuando calcula los componentes métricos en función de las coordenadas o cuando usa la fórmula de transformación.

Otra forma es tratarlo como espacio afín , que es lo que intenta hacer en su pregunta. El espacio afín es un conjunto junto con el espacio vectorial que lo acompaña y la operación que toma un punto, un vector y produce otro punto:

Sin embargo, el cambio de coordenadas no juega ningún papel aquí. El vector está completamente especificado por puntos en su punta y en su cola. En ninguna parte vienen las coordenadas en esta definición abstracta.

El problema viene cuando uno empieza a tratar puntos usando coordenadas. La operación en coordenadas cartesianas es bastante simple. Si el vector tiene ciertas componentes en base asociadas con coordenadas cartesianas dadas, entonces el nuevo punto simplemente se obtiene sumando las componentes del punto inicial con las componentes del vector. Sin embargo, en coordenadas curvilíneas, la regla no es tan simple y directa.

En primer lugar, no existe una base vectorial asociada con estas nuevas coordenadas. En un nivel intuitivo, esto tiene sentido ya que las coordenadas curvilíneas cambian su dirección y "velocidad" y, por lo tanto, no puede asociarles una sola flecha. Así que para escribir la versión de componentes de la ecuación$P_1+\vec{v}=P_2$, ni siquiera sabe cómo decidir qué vectores base usar para obtener componentes del vector$\vec{v}$. El espacio afín simplemente le dice que olvide las coordenadas curvilíneas y trabaje con coordenadas cartesianas ya que estas coordenadas se adaptan a la estructura del espacio afín.

El punto de vista múltiple soluciona este problema al exigir que la fórmula$P_1+\vec{v}=P_2$solo se puede usar en una vecindad infinitesimal del punto$P_1$y escala el vector$\vec{v}$abajo por algún escalar$\epsilon$. Es decir, en la formulación múltiple, cada punto tiene un espacio vectorial que lo acompaña, que podemos usar para obtener el punto en la punta del vector:$P_1+\epsilon\vec{v}=P_2$, para el valor infinitesimal de$\epsilon$.

Como explicaba Charlie, en general, la variedad no impone la capacidad de comparar dos vectores en diferentes puntos. Los espacios vectoriales en diferentes puntos son simplemente completamente independientes.

Sin embargo, se sabe que el espacio-tiempo de Minkowski tiene una estructura de espacio afín. Entonces existe un isomorfismo canónico entre todos los espacios vectoriales en diferentes puntos. En pocas palabras, todos los espacios vectoriales se pueden identificar. El uso de coordenadas curvilíneas se puede interpretar como la demanda de que en diferentes puntos esté utilizando la descomposición en una base diferente.

b) ¿Cuál es el significado de esta expresión? ¿Este vector significa implícitamente un vector que comienza desde el origen de las coordenadas, asumiendo coordenadas cartesianas y con componentes en las direcciones t^, x^, etc., como el especificado anteriormente? Entonces al tomar el producto escalar en (1) lo tomamos en el origen de las coordenadas y con la métrica de Minkowski?

Como dije, en el espacio-tiempo de Minkowski hay dos interpretaciones. Una es que estos son componentes del vector que viven en algún punto como descompuestos en alguna base en ese punto. Lo más probable es que la base esté dada por la "dirección y la velocidad" de las curvas de coordenadas en el punto. Este es un punto de vista completamente múltiple. Otra interpretación, que hace uso de la estructura afín del espacio-tiempo de Minkowski, te dice que estos son componentes del vector descompuesto en base definido en el punto P. La diferencia entre las dos interpretaciones no es realmente muy grande. En una interpretación, tanto la base como el vector viven en el punto$P$, en la otra interpretación, viven en el espacio vectorial "único verdadero" pero la descomposición ocurre según el punto en cuestión.