ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j interpretación

Question

ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j interpretación

Física
vectores
covarianza
tensor-métrico

pasaba por aqui

Tengo problemas en la interpretación de la expresión:

{mi}^{i} = {gramo}^{i j} {mi}_{j}

$\mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j$

que se pueden encontrar, por ejemplo, en este capítulo de wiki. También aquí .

Paso a paso de mi lógica errónea:

Los elementos de la expresión son un vector. $\mathbf{e}_i$ perteneciente a la base del espacio tangente; $\mathbf{e}^i$ de la base del espacio cotangente; y el tensor métrico $g$ .
Desde $\mathbf{e}_i$ es un vector de la base del espacio tangente, es un vector contravariante.
Desde $\mathbf{e}_i$ es un vector contravariante, se puede expresar en notación de índice como $e^\alpha_{\;i}$ .
Por índice habitual de descenso/aumento $g^{ij}e^\alpha_{\;j} = e^{\alpha\,i}$
Por paralelismo entre expresión inicial $\mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j$ y anterior $e^{\alpha\;i}=g^{ij}e^\alpha_j$ , Puedo decir eso $\mathbf{e}^i$ corresponde a $e^{\alpha\,i}$
Desde $\mathbf{e}^i$ vector se expresa como $e^{\alpha\,i}$ , es un vector contravariante.
Pero $\mathbf{e}^i$ no puede ser contravariante porque es un vector de la base del espacio cotangente. Contradicción.

No se encuentra dónde está el error en la secuencia anterior, todos los pasos parecen básicos y verdaderos.

Apéndice:

Otra forma de llegar a la misma contradicción:

1b. El conjunto de todos los vectores que forma la base del espacio tangente. $\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots\}$ se expresa en forma de índice como $e^\alpha_{\;i}$ .

2b. $e^\alpha_{\;i}$ expresa todo el conjunto de vectores base del espacio tangente. $e^\alpha_{\;i}$ es un tensor con dos índices, $\alpha$ contravariante (relacionado con los componentes del espacio) y $i$ covariante (relacionado con el índice en el conjunto base).

3b. $g^{ij}$ es un tensor que, dados dos tensores covariantes, produce un escalar. En otras palabras, dado un vector/tensor covariante, produce un vector/tensor contravariante. O, más genéricamente, mapas de un tensor (n+m) con n dimensiones contravariantes y m covariantes a otro tensor (n+m) con (n+1) dimensiones contravariantes y (m-1) covariantes.

4b. Aplicar $g^{ij}$ encima $e^\alpha_{\;j}$ mapeamos el $j$ dimensión covariante de $e$ a contravariante, obteniendo un tensor dos veces contravariante $e^{\alpha\;i}$

5b. Desde $e^{\alpha\;i}$ tiene dos índices contravariantes, no puede ser el conjunto de vectores básicos del espacio cotangente. La base del espacio cotangente se espera en la forma $e_\alpha^{\;i}$ .

Crio

g^{i j}

$g^{ij}$ es un mapa del espacio de vectores al espacio de funcionales. Dado que los dos espacios suelen ser isomorfos, para espacios vectoriales de dimensión finita, se pueden tener mapas isomorfos. Así que no hay contradicción, consulte physics.stackexchange.com/q/603251

Crio

Habiendo dicho eso, la notación con la que comienzas es un poco engañosa, sí

pasaba por aqui

@Cryo: gracias por tus comentarios. En la lista de pasos, ¿podrías decir cuáles son erróneos?

Crio

No lo llamaría erróneo, pero 4. Subir/bajar los índices no es una suma trivial, es un mapeo entre dos espacios vectoriales. El mapeo no es único y es posible que ni siquiera esté definido (métrica singular). Quizás si diera un ejemplo de un cálculo real que desea hacer, sería más fácil ver cómo se puede hacer de una manera más cuidadosa. Definiría la métrica como un producto escalar entre vectores o co-vectores y luego la usaría para inducir un mapa entre dos espacios

Crio

quise decir 4 -5, más 5

nemo

Parece que no entiendo cómo puede justificar el número 3, ya que esto básicamente está escribiendo e como un tensor con covariante alfa y contravariante i

Crio

Sigue intentando reducir vectores base a componentes, pero no puede hacer esto, los componentes son escalares, la base consiste en vectores, y para reducir vectores a escalares necesita funcionales, por definición. Procedes a invocar funcionalmente implícitamente y luego llegas a una 'contradicción'.

pasaba por aqui

@IronicalCoffee: "i" es el índice ya presente en la expresión en discusión

e_{i}

$\mathbf{e}_i$ y

α

$\alpha$ es el índice utilizado para identificar el componente espacial (digamos

α \in {t, x, y, z,}

$\alpha \in \{ t, x, y, z, \}$ por ejemplo).

α

$\alpha$ debe ser contravariante porque estos vectores son la base del espacio tangente. Así, el conjunto de todos los vectores de la base tangente se convierte en un 2-tensor

e_{i}^{α}

$e^{\alpha}_i$ con una dimensión contravariante y una covariante.

pasaba por aqui

@Cyro:

e_{i}

$\mathbf{e}_i$ sa vector (nota "e" en negrita). Como vector, tiene componentes

e_{i} = (e_{i}^{t}, e_{i}^{x}, e_{i}^{y}, e_{i}^{z})

$\mathbf{e}_i=(e^t_i,e^x_i,e^y_i,e^z_i)$ (ejemplo). Puedo expresar eso en notación de índice como

e_{i}^{α}

$e^{\alpha}_i$ . No hay reducción de vectores a escalares, sino la notación de índice habitual.

pglpm

@pasabaporaqui Como regla general, no confíes demasiado en wikipedia. Recuerde que lo que está escrito allí puede no ser el resultado de un acuerdo, sino solo de la persistencia de algún usuario en particular, que puede estar completamente equivocado. He encontrado varias declaraciones erróneas en Wikipedia. Tal vez sea bueno tener una idea general, pero al menos verifique sus referencias.

pglpm

@pasabaporaqui Dicho esto, la expresión inicial que escribes no es una subida de índices. La subida/bajada de los índices actúa sobre los índices tensoriales , pero el "

i

$i$ " en

e e_{i}

$\pmb{e}_i$ es solo una etiqueta ; como diría Schouten, es "parte del símbolo tipográfico

e e

$\pmb{e}$ ". Para ser honesto, no me gusta nada esa expresión, es muy engañosa. No se necesita ninguna métrica para definir una base recíproca. Si desarrollamos esa fórmula en coordenadas, veríamos que "

g

$g$ " desaparece por completo. Con respecto a su punto 6.,

e e^{i}

$\pmb{e}^i$ son vectores covariantes, con componentes

{e^{i}}_{α}

${e^i}_\alpha$ .

pasaba por aqui

@pglpm: "i" generalmente proviene de

e_{i} = \frac{φ (\dots)}{\partial x^{i}}

$\mathbf{e}_i=\frac{\varphi(\dots)}{\partial x^i}$ . Creo que esta expresión le da a "i" su característica de índice covariante.

Respuestas (1)

ei=gijejei=gijej \mathbf{e}^i = g^{ij} \mathbf{e}_j interpretación

$g^{ij}$ es un mapa del espacio de vectores al espacio de funcionales. Dado que los dos espacios suelen ser isomorfos, para espacios vectoriales de dimensión finita, se pueden tener mapas isomorfos. Así que no hay contradicción, consulte physics.stackexchange.com/q/603251
Habiendo dicho eso, la notación con la que comienzas es un poco engañosa, sí
@Cryo: gracias por tus comentarios. En la lista de pasos, ¿podrías decir cuáles son erróneos?
No lo llamaría erróneo, pero 4. Subir/bajar los índices no es una suma trivial, es un mapeo entre dos espacios vectoriales. El mapeo no es único y es posible que ni siquiera esté definido (métrica singular). Quizás si diera un ejemplo de un cálculo real que desea hacer, sería más fácil ver cómo se puede hacer de una manera más cuidadosa. Definiría la métrica como un producto escalar entre vectores o co-vectores y luego la usaría para inducir un mapa entre dos espacios
Parece que no entiendo cómo puede justificar el número 3, ya que esto básicamente está escribiendo e como un tensor con covariante alfa y contravariante i
Sigue intentando reducir vectores base a componentes, pero no puede hacer esto, los componentes son escalares, la base consiste en vectores, y para reducir vectores a escalares necesita funcionales, por definición. Procedes a invocar funcionalmente implícitamente y luego llegas a una 'contradicción'.
@IronicalCoffee: "i" es el índice ya presente en la expresión en discusión $\mathbf{e}_i$ y $\alpha$ es el índice utilizado para identificar el componente espacial (digamos $\alpha \in \{ t, x, y, z, \}$ por ejemplo). $\alpha$ debe ser contravariante porque estos vectores son la base del espacio tangente. Así, el conjunto de todos los vectores de la base tangente se convierte en un 2-tensor $e^{\alpha}_i$ con una dimensión contravariante y una covariante.
@Cyro: $\mathbf{e}_i$ sa vector (nota "e" en negrita). Como vector, tiene componentes $\mathbf{e}_i=(e^t_i,e^x_i,e^y_i,e^z_i)$ (ejemplo). Puedo expresar eso en notación de índice como $e^{\alpha}_i$ . No hay reducción de vectores a escalares, sino la notación de índice habitual.
@pasabaporaqui Como regla general, no confíes demasiado en wikipedia. Recuerde que lo que está escrito allí puede no ser el resultado de un acuerdo, sino solo de la persistencia de algún usuario en particular, que puede estar completamente equivocado. He encontrado varias declaraciones erróneas en Wikipedia. Tal vez sea bueno tener una idea general, pero al menos verifique sus referencias.
@pasabaporaqui Dicho esto, la expresión inicial que escribes no es una subida de índices. La subida/bajada de los índices actúa sobre los índices tensoriales , pero el " $i$ " en $\pmb{e}_i$ es solo una etiqueta ; como diría Schouten, es "parte del símbolo tipográfico $\pmb{e}$ ". Para ser honesto, no me gusta nada esa expresión, es muy engañosa. No se necesita ninguna métrica para definir una base recíproca. Si desarrollamos esa fórmula en coordenadas, veríamos que " $g$ " desaparece por completo. Con respecto a su punto 6., $\pmb{e}^i$ son vectores covariantes, con componentes ${e^i}_\alpha$ .
@pglpm: "i" generalmente proviene de $\mathbf{e}_i=\frac{\varphi(\dots)}{\partial x^i}$ . Creo que esta expresión le da a "i" su característica de índice covariante.

j murray · Answer 1

Creo que su confusión proviene del hecho de que hay varias formas diferentes de ver la covarianza y la contravarianza.

La forma tradicional de tratar este tema es decir que dada una base $\mathbf e_i$ para un espacio vectorial $V$ , podemos definir una base dual para $V$ que escribimos como $\mathbf e^i = g^{ij}\mathbf e_j$ . En este marco, ambos $\mathbf e_i$ y $\mathbf e^i$ pertenece a $V$ . En consecuencia, un vector $\mathbf v\in V$ puede ampliarse en términos de la base original o de la base dual, es decir $\mathbf v = v^i\mathbf e_i = v_i \mathbf e^i$ . El $v^i$ se denominan componentes contravariantes de $\mathbf v$ , mientras que la $v_i$ son los componentes covariantes de $\mathbf v$ . Para que esta igualdad se mantenga, debemos tener que $v_i = g_{ij} v^j$ , dónde $g_{ij}$ y $g^{ij}$ son matrices inversas entre sí.

El producto interior entre vectores viene dado por $\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = g_{ij}$ . Como resultado, $\mathbf e^i \cdot \mathbf e_j = g^{ik}\mathbf e_k \mathbf e_j = g^{ik}g_{kj} = \delta ^i_j$ . Por tanto, podemos escribir el producto interior entre dos vectores de cualquiera de las siguientes formas equivalentes:

v \cdot w = v^{i} w^{j} {mi}_{i} \cdot {mi}_{j} = v_{i} w^{j} = v^{i} w^{j} {gramo}_{i j}

$\mathbf v\cdot \mathbf w = v^i w^j\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = v_i w^j = v^i w^j g_{ij}$

Tenga en cuenta que en ningún momento hemos dejado el espacio vectorial $V$ . Aquí no existe la noción de un espacio dual; todo tiene lugar en un solo espacio vectorial, y la contravarianza y la covarianza de los componentes del vector o del tensor es puramente una propiedad en la que se elige expandir el vector o el tensor. Esta convención todavía se usa en campos como la cristalografía, donde $\mathbf e_i$ podría representar los vectores de red de algún cristal y el $\mathbf e^i$ son los vectores reticulares recíprocos.

El tratamiento más moderno es decir que dado un espacio vectorial $V$ y una base $\mathbf e_i$ , podemos definir una base $\boldsymbol \epsilon^i$ para el espacio dual (algebraico) $V^*$ por la condición de que $\boldsymbol \epsilon^i(\mathbf e_j) = \delta^i_j$ . Cualquier forma bilineal no degenerada (como una métrica) define un isomorfismo entre $V$ y $V^*$ . Cualquier vector $\mathbf v\in V$ tiene un compañero covector $\mathbf v^\flat\in V^*$ dada por

v^{♭} = gramo (v, ∙)

$\mathbf v^\flat = \mathbf g(\mathbf v,\bullet)$ cuya acción sobre un vector

w \in V

$\mathbf w\in V$ es entonces

v^{♭} (w) = gramo (v, w) = {gramo}_{i j} v^{i} w^{j}

$\mathbf v^\flat(\mathbf w) = \mathbf g(\mathbf v,\mathbf w) = g_{ij} v^i w^j$

Este enfoque es, en última instancia, mucho más limpio en mi opinión. Los vectores y covectores se convierten en objetos geométricos claramente diferentes con diferentes propiedades de transformación, y las diferencias se pueden manifestar de manera claramente independiente de la base. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que las perspectivas más antiguas y más nuevas son, en última instancia, equivalentes.

Gran respuesta, mucho mejor y más limpia que la mía. Gracias
Gran respuesta, no sabía sobre este punto de vista anterior. ¿Puede sugerir algunas referencias? Otra ventaja de la separación entre espacios vectoriales y covectoriales es que nos permite introducir muchas nociones (flujos, diferencial, conexión en paralelo, etc.) basándose únicamente en nociones topológicas (diferenciales), sin invocar una estructura métrica.
@pglpm Para ver ejemplos de la convención anterior, puede consultar básicamente cualquier texto de introducción a la física del estado sólido que analice las estructuras cristalinas. David Tong tiene algunas notas de estado sólido en línea (consulte la página 52 de estas notas ), o puede encontrar una copia de uno de los textos estándar como Ashcroft y Mermin o Kittel. Definitivamente estoy de acuerdo contigo; Creo que el principal impedimento para adoptar esta perspectiva en cristalografía es que el campo trabaja universalmente en $\mathbb R^n$ para $n=1,2,3$ por lo que el poder y la flexibilidad de un sistema más general [...]
Gracias. Si tiene tiempo, agregue algunos de sus comentarios y referencias en esa sección de Wikipedia, creo que sería útil para muchas personas que tropiezan allí.
@pglpm Echaré un vistazo si tengo un momento. También me gustaría agregar que incluso algunos textos de relatividad establecidos (generalmente más antiguos) usan esta convención. Por ejemplo, Weinberg II.5 incluye la frase "Aunque cualquier vector puede escribirse en forma contravariante o covariante [...]". Este libro (y otros similares) funcionan completamente en notación de índice, no distinguen entre un tensor y sus componentes, y definen vectores por sus reglas de transformación; no es mi estilo preferido, pero uno que existe.
De hecho, el tensor métrico aparece en todas partes en esos textos de estilo antiguo (a veces incluso se lo llamaba "tensor mundial"). Un poco sorprendente, ya que Schouten en la década de 1950 tenía bastante claros los diferentes significados geométricos (y Cartan incluso antes). Creo que las presentaciones "modernas" también tienen más probabilidades de generar nuevas ideas. Dejan claro, por ejemplo, que la conservación de la carga o del flujo magnético no tiene nada que ver con los tensores métricos. Stackexchange también es un buen medio para dar a conocer este punto de vista más ampliamente.
Tengo duda aquí. Si tenemos dos espacios vectoriales diferentes, entonces si hablamos de un vector $V$ entonces puede vivir en un espacio o en su espacio dual (diferente). ¿Por qué entonces los libros en GR dicen que este vector $V$ es el único objeto geométrico y sus componentes en un espacio son contravariantes y en el espacio dual se denominan covariantes. El vector que tiene componentes covariantes vive en otro espacio por lo que es otra entidad geométrica. ¿Por qué asignamos componentes contravariantes y covariantes al mismo vector geométrico cuando los componentes covariantes son de una entidad geométrica diferente?
@Shashaank No estoy seguro de cómo responder eso de una manera que difiera apreciablemente de la respuesta completa que escribí. Es posible formular geometría diferencial sin hablar del espacio dual como un espacio distinto, en el que componentes contravariantes y covariantes se refieren a un mismo objeto expresado en dos bases diferentes. Sin embargo, el enfoque más moderno que distingue entre el espacio vectorial y su espacio dual es mucho más limpio en mi opinión, razón por la cual es la formulación a la que me refiero casi universalmente.
@J.Murray Gracias. ¿Podría decirme que el tipo de tratamiento presentado en Caroll sugiere tratar los vectores contravariante y covariante como dos entidades geométricas completamente diferentes o no? Además, cualquier libro básico que le gustaría sugerir explica este tema de contravaint y vector covariante como diferentes objetos geométricos profundamente.
@Shashaank Carroll adopta la perspectiva moderna y es el mejor texto introductorio para ese propósito que yo sepa. MTW también adopta esta perspectiva al tiempo que brinda imágenes geométricas extensas para covectores (usa la terminología "una forma" en previsión del desarrollo del marco de formas diferenciales). Wald es un tercer recurso de este tipo (mi texto GR favorito), pero tiende hacia la precisión matemática más que los demás. Para un contraejemplo de la vieja escuela, vea Weinberg.
@J.Murray Muchas gracias. Solo para una aclaración, Weinberg usa ese otro enfoque al decir que un vector tiene un componente tanto contravariante como covariante, ¿verdad? Básicamente me refiero solo a Caroll, un poco asustado de recoger a Wald y MTW (es muy pesado y largo). Pero básicamente estaba preguntando un texto matemático puro que trata sobre las matemáticas de GR, geometría diferencial, etc. Me pareció que hay chicas en mi conocimiento matemático en ciertos puntos. Estaba pensando en comprar un libro de matemáticas puras. ¿Sugieres eso o debo recoger a Wald en su lugar?
@Shashaank Dudo que un texto de matemáticas puras sobre geometría diferencial sea más fácil de entender que Wald o MTW, por lo que sugeriría uno de esos si quisiera más rigor.

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Teoría especial de la relatividad: 4-Vector y 4-velocidad

¿Vectores o componentes contravariantes/covariantes?

¿Por qué el término espacial para el gradiente de 4 contravariantes es negativo, mientras que para otros 4 vectores es la parte covariante la que es espacialmente negativa?

¿Cómo se relacionan estas dos definiciones diferentes de vector covariante?

Vectores covariantes vs contravariantes

¿Por qué necesitamos una métrica para definir el gradiente?

Confusión Einstein notación coordenadas polares

¿Cómo funciona la notación de 4 vectores?

¿Es el tiempo un vector en el espacio de Minkowski? [duplicar]

¿Qué significa transformar como un escalar o un vector?