¿Qué significa cuando se dice que un campo vectorial es espacial, temporal o está separado por cero?

El significado "canónico" de un vector en general, en un sentido geométrico, es un desplazamiento : si tienes un punto$P$en un espacio adecuadamente homogéneo, como el espacio tridimensional euclidiano, entonces

es un punto desplazado en la dirección y a lo largo de la distancia codificada dentro$\mathbf{v}$. Del mismo modo, si$Q$y$P$son dos puntos entonces

es el vector que representa el desplazamiento desde$P$a$Q$.

Lo mismo se aplica a los vectores de espacio-tiempo: podemos usarlos para representar desplazamientos entre puntos de espacio-tiempo, al igual que podemos usarlos para representar desplazamientos entre puntos puramente espaciales. Por lo tanto, es natural sugerir que si podemos clasificar las separaciones entre puntos en esas categorías, también deberíamos poder clasificar de manera análoga los vectores que producen esas separaciones cuando se suman a uno u otro punto, en las mismas categorías.

Por lo tanto, podemos definir que un vector es similar al espacio , al tiempo o a la luz si produce, respectivamente, un punto (o evento ) del espacio-tiempo que es similar al espacio, al tiempo o a la luz separado de otro punto similar cuando se agrega a ese punto dado. Eso es,$\mathbf{v}$es espacio/tiempo/como luz si$P$y$P + \mathbf{v}$están separadas por espacio/tiempo/como la luz, respectivamente.

A partir de esto, puedes probar que, a su vez, en términos de la longitud del vector,

eso

• $\mathbf{v}$es temporal si$||\mathbf{v}||$es distinto de cero y real ,
• $\mathbf{v}$es ligero si$||\mathbf{v}||$es cero,
• $\mathbf{v}$es espacial si$||\mathbf{v}||$es distinto de cero e imaginario .

Y esto también puede, entonces, extenderse para definir nociones análogas para otros vectores que no son dimensionalmente adecuados para representar desplazamientos directamente. Y luego también podemos extenderlo de manera análoga a campos vectoriales: un campo vectorial$\mathbf{F}$es (s/t/l)-como si en cada punto del espacio-tiempo$P$,$\mathbf{F}(P)$es (s/t/l) como acabamos de definir y generalizar.

Finalmente, físicamente, el 4-momentum nunca es espacial (no "siempre temporal" - el 4-momentum de los fotones es como la luz) porque, en efecto, representa el desplazamiento dentro del espacio-tiempo que experimenta un objeto físico mientras se mueve. . Y un desplazamiento en una dirección similar al espacio representaría un movimiento más rápido que la luz. Y por lo que hemos descubierto, nada viaja más rápido que la luz.

que un vector$V$es similar al tiempo, similar a la luz/nulo o similar al espacio indica únicamente que$V^{\mu}V_{\mu}=V_{0}^{2}-V_{1}^{2}-V_{2}^{2}-V_{3}^{2}=V_{0}^{2}-{\bf V}^{2}$es positivo, cero o negativo. Lo que eso significa en diferentes casos específicos varía un poco.

Para el cuatro impulso$p^{\mu}$: Dado que los componentes del momento son los conjugados canónicos de las variables de posición,*$p^{\mu}$es el generador de la traducción del espacio-tiempo. Esto es automáticamente cierto en mecánica cuántica, y también es cierto clásicamente, cuando la teoría se interpreta con corchetes de Poisson implementando transformaciones o mediante el Principio de Hamilton, siendo la trayectoria de una partícula la configuración de Acción Mínima. Cualitativamente, que$p^{\mu}$debe ser similar al tiempo (o similar a la luz para una partícula sin masa) significa que la trayectoria del espacio-tiempo seguida por una partícula también debe ser similar al tiempo (o similar a la luz**).

La situación para la velocidad de cuatro es la misma, ya que la velocidad de cuatro se define simplemente cambiando la escala de la cantidad de movimiento de cuatro por$m^{-1}$. La densidad de corriente es un poco más complicada, pero si$J^{\mu}$se ve como generado por el movimiento de una (gran) colección de cargas puntuales,${\bf J}=\sum_{n}q_{n}{\bf v}_{n}\delta^{3}[{\bf r}-{\bf r}_{n}(t)]$, entonces su naturaleza temporal también desciende de que la naturaleza temporal de$p^{\mu}$.

El requisito de que la fuerza cuatripartita sea espacial es una consecuencia del hecho de que una partícula de masa$m$debe, tanto antes como después de que experimente un impulso de cuatro$\Delta I^{\mu}=F^{\mu}\Delta t$satisfacer la misma relación energía-momento,$E^{2}-{\bf p}^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}$. Porque$|\partial E/\partial{\bf p}|=|{\bf v}|<c$, la energía debe cambiar menos que el impulso bajo el impulso (factores de módulo de$c$), lo que significa que los cuatro impulsos (y, por lo tanto, las cuatro fuerzas) deben tener una mayor$|{\bf F}|$que$F_{0}$; en otras palabras, la fuerza de cuatro es similar al espacio.

*Esto no es cierto formalmente, para los componentes de tiempo (ya que el tiempo$t$no es una variable dinámica), pero las mismas declaraciones cualitativas aún se aplican a los componentes de tiempo.

** Salvo los reflejos, que cambian el impulso de un vector similar a la luz a otro.

(He editado la pregunta para referirme a "vectores", en lugar de "campos vectoriales", ya que solo las coordenadas y la densidad actual son campos vectoriales, en lugar de vectores individuales. Un campo vectorial sería una función de posición con valor vectorial, mientras que el momento de una partícula es solo una función del tiempo, sin significado excepto en la ubicación instantánea de la partícula).