¿Vectores o componentes contravariantes/covariantes?

Solo logré ordenar estas cosas en mi cabeza después de Halmos y Greub .

Hablemos primero de los vectores abstractos. Definamos los vectores contravariantes como los vectores 'habituales':

$$\mathbf{V}=V^i\,\mathbf{e}_i\in \mathcal{V}$$

Dónde$\mathbf{V}$es un vector,$V^i$son los componentes y$\{\mathbf{e}_i\}_{i=1\dots N}$es la base de este espacio vectorial N-dimensional$\mathcal{V}$(aquí solo se trata de espacios vectoriales de dimensión finita).

Una vez que tenga esta estructura, encontrará que rara vez podemos aplicarla directamente al mundo real, la razón es que normalmente podemos medir escalares, no vectores. La medición de varios escalares puede dar como resultado un vector, pero este no es un proceso de un solo paso.

Entonces, lo que necesitamos son formas de reducir los vectores a escalares (valores reales por ahora). A estos los llamamos funcionales:

$$\mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}$$

Una clase especial entre estos funcionales son los funcionales lineales homogéneos. Llamemos al espacio de tales funcionales$\mathcal{V}^*$. Así que si$\mathbf{u}\in \mathcal{V}^*$, y$\mathbf{v},\,\mathbf{w}\in \mathcal{V}$y$\alpha,\beta\in \mathbb{R}$

$$\begin{align} \mathbf{u}:\mathcal{V}\to\mathbb{R}\\ \mathbf{u}\left(\alpha\mathbf{v}+\beta\mathbf{w}\right)=\alpha\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)+\beta\cdot\mathbf{u}\left(\mathbf{w}\right) \\ \mathbf{u}\left(\mathbf{0}\right)=0 \end{align}$$

Un ejemplo de tal funcional sería$\mathbf{u}$que simplemente devuelve el 'componente x' de cualquier vector que se le haya dado.

Entonces podemos preguntar cómo podemos investigar sistemáticamente a los posibles miembros de$\mathcal{V}^*$. Entonces encontraremos que lo único que importa es qué números se asignan a los vectores base de$\mathcal{V}$. Básicamente definimos un siguiente conjunto de funcionales:

$$\mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=\begin{cases} 1,\quad i=j\\ 0,\quad otherwise \end{cases}=\delta^j_i$$

Y luego cualquier$\mathbf{u}\in\mathcal{V}^*$se puede expresar como:

$$\mathbf{u}=u_i\mathbf{q}^i$$

De modo que para cualquier$\mathbf{v}=v^i\mathbf{e}_i$en$\mathcal{V}$:

$$\mathbf{u}\left(\mathbf{v}\right)=u_j \mathbf{q}^j\left(v^i\mathbf{e}_i\right)=u_jv^i \mathbf{q}^j\left(\mathbf{e}_i\right)=u_iv^i$$

Esencialmente$\mathcal{V}^*$es en sí mismo un espacio vectorial, con base$\{\mathbf{q}^j\}_{j=1\dots N}$, que es inducida por$\mathcal{V}$. A esto lo llamamos el espacio dual. Esos son sus vectores covariantes.

Es por eso que los vectores covariantes y contravariantes son diferentes, los primeros son funcionales lineales de los últimos (y viceversa)

Un ejemplo que no es GR donde la distinción entre vectores covariantes y contravariantes se vuelve importante es la cristalografía. Por lo general, uno alinea los vectores base con el eje cristalino, y los vectores covariantes están entonces en el espacio recíproco .

A menudo podemos pretender que el espacio dual es lo mismo que el espacio vectorial original porque los dos son isomorfos (para espacios vectoriales finitos), de ahí viene la confusión.

Pregunta 1 : No, los vectores pueden pertenecer al espacio vectorial contravariante, si pertenece al espacio vectorial covariante, es un funcional lineal. Habiendo dicho eso, cosas como sumas directas y productos tensoriales pueden usarse para construir nuevos espacios vectoriales:$\mathcal{V}\oplus\mathcal{V}^*$y$\mathcal{V}\otimes\mathcal{V}^*$- Ahí las cosas se complican.

Pregunta 3 : Sí. Esto está en la definición de un espacio vectorial. Cualquier combinación lineal de vectores en el espacio pertenece al espacio

Finalmente hablas de un objeto.$g_{ij}$. Dadas las propiedades adecuadas, establece un mapa$\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$. Si bien nunca he trabajado con espacios vectoriales en los que dicho mapa no se puede definir, no veo ninguna razón para que esté siempre presente, ni para que sea único. Así que trata$g_{ij}$como complemento. Por lo tanto, no hay contradicción.$\mathcal{V}$y$\mathcal{V}^*$son isomorfos pero diferentes para espacios vectoriales finitos, por lo tanto, puede definir un isomorfismo$g:\mathcal{V}\to\mathcal{V}^*$entre ellos.

PD: cuando se trata de variedades, uno construye un espacio vectorial en cada punto de la variedad a partir de derivadas parciales, por lo que los vectores se definen como$V=v^i\partial_i$. Este es el espacio vectorial tangente. El espacio dual para eso es el espacio de las formas diferenciales , nuevamente definido en cada punto de la multiplicidad.

$$\mathbf{v} = q_i \mathbf{e^i} = q^i \mathbf{e_i}$$

¡Ay! Los vectores base$\mathbf{e_i}$y$\mathbf{e^i}$pertenecen a diferentes espacios vectoriales, a saber, un espacio vectorial y su dual. ¡El uso de un signo igual en este contexto es simplemente incorrecto! Un espacio vectorial y su dual son objetos matemáticamente diferentes, pero iguales significa que son matemáticamente iguales, lo cual es incorrecto. Dije en mi respuesta a la pregunta vinculada que

tendemos a pensar en los vectores contravariantes y covariantes como descripciones diferentes del mismo vector

pero formalmente, en matemáticas, son objetos diferentes . Entonces, depende. ¿Quiere una noción informal e intuitiva, que está bien para la mayoría de los propósitos prácticos, en cuyo caso puede pensar en vectores contravariantes y covariantes como descripciones diferentes del mismo objeto, o está buscando una declaración matemáticamente rigurosa y precisa que nunca te lleva al tipo de contradicción a la que llegas? Si es lo último, entonces debe tratar el espacio vectorial como distinto de su dual y apegarse a un lenguaje matemáticamente riguroso.