Covariante y contravariante de 4 vectores en relatividad especial

La métrica no siempre tiene la forma

Si cambia sus sistemas de coordenadas al volver a escalar el$x^0$eje por$1000$, la métrica será

y la métrica inversa será

Y subir y bajar debe hacerse con estos objetos.

En general, si tiene un cambio de coordenadas arbitrario$q^\mu=F^\mu(x)$, entonces las componentes de los vectores cambiarán de$X^\mu$a$\frac{\partial F^\mu(x)}{\partial x^\nu}X^\nu$, donde se implica una suma de índices que aparecen dos veces.

La métrica y la métrica inversa también se transforman en:

Y puede encontrar, por ejemplo, si cambia a coordenadas esféricas, que la métrica ya no es constante en su espacio.

Hubiera preferido responder a través de un comentario, pero todavía no tengo permiso para hacerlo. La respuesta de s.harp es operativamente correcta, en el sentido de que le brinda las propiedades de transformación correctas de los vectores "covariantes" y "contravariantes" y de la métrica, por lo que debe atenerse a ellos al manipular ecuaciones. Sin embargo, debe tener en cuenta que su confusión surge del hecho de que la estructura geométrica y las herramientas matemáticas de la relatividad especial se definen más correctamente en el contexto de la geometría diferencial, como 0celo7 intentaba decir en el comentario. Desafortunadamente, la geometría diferencial no se enseña en los cursos de física elemental, y esto lleva a la necesidad de agitar mucho la mano con definiciones y conceptos en temas como la relatividad especial, lo que a su vez confunde a los estudiantes reflexivos. Mi consejo es leer los primeros capítulos de un libro de introducción a la geometría diferencial, al menos hasta el punto en que habla de las formas diferenciales. Te aseguro que no solo se disiparán tus dudas, sino que también te dará una idea sólida de qué se trata la relatividad especial. Si está interesado, contácteme en privado (nuevamente, no puedo responder a los comentarios).

Aunque usamos los términos "tensor contravariante" o "tensor covariante", a lo que realmente nos referimos son a los componentes de un tensor, y no al tensor en sí. El tensor en sí es independiente del sistema de coordenadas que estemos usando. Las componentes contravariantes de un tensor, por ejemplo, se obtienen descomponiendo el tensor en componentes en términos de los llamados vectores de base de coordenadas.

Supongamos que tenemos un vector$\vec{v}$y supongamos que tenemos dos conjuntos de vectores base:

$\vec{v}=v^1\hat{e_1}+v^2\hat{e_2}+v^3\hat{e_3}$donde los superíndices no son exponentes sino que indican la n-ésima componente del vector y los subíndices son los vectores unitarios correspondientes.

En una base diferente, podríamos tener$\vec{v}=u^1\hat{\epsilon_1}+u^2\hat{\epsilon_2}+u^3\hat{\epsilon_3}$

$\vec{v}$es el mismo objeto sin importar en qué sistema de coordenadas se encuentre. Es el mismo objeto geométrico.

Hay un proceso por el cual tomar los componentes en el$v^\alpha$sistema de coordenadas y derivar los componentes en el$u^\nu$sistema coordinado. Esta operación es lineal en el$v$coordenadas y tiene una transformación inversa correspondiente. La operación se puede representar como un producto Matrix con un vector formado por las coordenadas.

Hay una regla de transformación separada, pero relacionada, para los vectores base. Es esencialmente una matriz por multiplicación de matrices a diferencia de la matriz anterior por multiplicación de vectores. Además, mientras que la transformación anterior asignaba coordenadas a coordenadas, es decir, números reales a números reales, esta transformación asigna vectores a vectores. Los objetos a transformar son diferentes. Cualquier vector, incluido el vector unitario en un sistema de coordenadas, se puede representar como una combinación lineal de los vectores básicos unitarios del otro sistema de coordenadas.

Las coordenadas no son los vectores que representan. Tienen que multiplicar el vector unitario asociado para obtener el vector completo.

Deje que los índices emparejados hacia arriba y hacia abajo representen la multiplicación repetida:

An permite que las escrituras latinas representen coordenadas en un sistema y los índices griegos coordinantes en otro, entonces el vector v tiene las representaciones:

Para pasar de un sistema de coordenadas a otro podemos tener$v^a=\Lambda_\mu^av^\mu$, donde nuevamente los índices elevados y reducidos repetidos implican sumas repetidas y

Dónde$x^a$es el$a_{th}$coordenada de un sistema de coordenadas y la$x^\mu$es el$\mu_{th}$coordenada de la otra.

Mantenga un registro de los índices latinos y griegos.

La transformación para vectores base es$\Lambda^\mu_a$. Los índices se invierten, pero esto no siempre es lo contrario de la transformación. Es la "dirección opuesta" del procedimiento de transformación de coordenadas.

Si un objeto se transforma de la misma manera que los vectores base, es un vector covariante también llamado forma 1. Si se transforma como coordenadas y, por lo tanto, en la dirección opuesta a los vectores base, es un vector Contravariante, o simplemente un vector.

Una forma 1 también se puede considerar geométricamente como una serie de planos infinitesimales colocados paralelos entre sí en algún intervalo. En general, un vector de una longitud atravesará más planos si es paralelo a la normal de los planos que si incide sobre los planos oblicuamente. Podemos asociar la noción habitual de un producto interior con cuántos planos son atravesados ​​por un vector dado.

En este formalismo no decimos que se toman dos vectores para obtener un producto interno. Tomas un vector y una forma para obtener un producto interno.

Si usted tiene$a^i$y$b^j$,$a^ib^j$no es su producto interior incluso si$i=j$en un sistema de coordenadas general. Recuerde que necesitamos un índice coincidente elevado y reducido para realizar una suma. Solo tenemos un producto interno con una métrica específica,$g_{ij}$(aunque en el espacio de Minkowski aquel en el que todas las coordenadas son 1 a lo largo de la diagona, cero en otro lugar acepta la cordiante tiempo/tiempo que es -1. ).

Esta vez, los índices repetidos implican una suma doble. Tenemos índices elevados y reducidos coincidentes, por lo que podemos realizar la suma y obtener el producto interno.

Ahora$g_{ij}v^i$tiene su propio significado especial. Puede reconocer esto como el procedimiento para bajar un índice. Se vuelve$v_i$, una coordenada que se asociará con una forma de base 1. Un solo índice superior es la coordenada de un vector, un solo índice inferior representa la coordenada de una forma 1.

Consulte él para obtener más información sobre una forma.

La dimensión no cambia en una transformación covariante/contravariante porque, si pensamos en los covectores como el espacio dual en contravectores (y viceversa), usaríamos la multiplicación$X^\mu X_\mu$para calcular la norma de los dos vectores -$||X_\mu||=\sqrt{X_\mu X^\mu}$, de este modo$[||X_\mu||]=\left[\sqrt{x_\mu X^\mu}\right]=\sqrt{\left[X_\mu\right]}\sqrt{\left[X^\mu\right]}$y porque requerimos$[||X_\mu||]=[X_\mu]$esto da$[X_\mu]=[X^\mu]$, por lo tanto, el cuadrivector de distancia covariante todavía tiene unidades de longitud.