Intuición física de por qué el tiempo adecuado es una cantidad invariable

Matemáticamente, entiendo por qué el tiempo adecuado , τ es una cantidad invariante, ya que se define en términos de la métrica del espacio-tiempo d τ = − d s 2 (usando la firma ( − + + + ) y con C = 1 ). Más abstractamente, τ simplemente parametriza la longitud entre dos puntos a lo largo de una línea de mundo y, por lo tanto, es "obviamente" invariable en este sentido.

Sin embargo, dejando esto de lado por un momento, intuitivamente estoy menos seguro de cómo dar una respuesta a la pregunta: ¿por qué el tiempo propio es físicamente una cantidad invariable?

Considere una partícula en el espacio-tiempo de Minkowski. Si dos observadores diferentes, Alice y Bob, se mueven a diferentes velocidades con respecto a la partícula y entre sí, y cada uno mide el tiempo transcurrido para que la partícula se propague de un punto a otro, entonces medirán diferentes intervalos de tiempo. a otro. Sin embargo, ambos estarán de acuerdo en el tiempo propio transcurrido de la partícula. ¿Es la razón por la que este es el caso porque la pregunta, "¿cuál es el tiempo 'experimentado' por la partícula?", es una pregunta independiente del marco: ¿el tiempo adecuado es una medida de la cantidad de "proceso físico" que experimenta la partícula a medida que se "mueve" a lo largo de su línea de tiempo, y este es un fenómeno físico (independiente de coordenadas)? Si Alice y Bob no estuvieran de acuerdo sobre la cantidad de tiempo adecuado transcurrido, entonces estarían en desacuerdo con la partícula sobre cuánto tiempo ha transcurrido para la partícula, ¡¿lo cual sería una tontería?!

Disculpas por una pregunta tan básica, espero que alguien pueda aclararme cualquier confusión.

Creo que se debe medir el tiempo adecuado entre eventos para que sea comparable. ¿Quizás? (No estoy seguro si el evento es cuando su máquina lo detecta o cuando se teoriza que sucederá)
El concepto de tiempo adecuado también es difícil de entender para mí, es una definición necesaria basada en la cual es posible gran parte de la cinemática relativista en marcos no inerciales, diría que tiene que estar ligado a la idea de que existe algún tipo de una unidad de tiempo invariable (como relojes atómicos o algo así) en la que todos están de acuerdo.
@Emil Sí, debe medirse entre eventos. Es por eso que en mi ejemplo analizo el tiempo propio transcurrido mientras la partícula se propaga entre dos puntos.
@DavidLeonardoRamos Eso es lo que pienso, que el tiempo adecuado debe ser una medida de algún tipo de "proceso físico" periódico, por ejemplo, la transición de un electrón de un orbital a otro, que es claramente un observador independiente.
@ Countto10 Buen punto. Me doy cuenta de que "experimentado" es un término un poco vago aquí, pero no estaba muy seguro de cómo expresar mejor esta parte de la pregunta.
@ user35305 Supongo que si ambos observadores supieran cómo mapear desde su gráfico al gráfico de otras personas, sería posible hablar solo de puntos en lugar de eventos, pero se siente más fácil hablar de eventos que son detectables.

Respuestas (4)

Seamos precisos aquí. La 'invariancia' en cuestión es la invariancia del intervalo de espacio-tiempo bajo las transformaciones de Lorentz. Las transformaciones de Lorentz aquí relacionan las coordenadas de un evento medido por Alice con el de Bob, donde tienen una velocidad de impulso entre sí. Como tal, Alice mide algún tiempo t A y Bob t B . Las transformaciones hacen el trabajo de llevarte de un observador a otro para ver cómo es en su lado del mundo; es como decir que Alice se pone en el lugar de Bob o viceversa.

Pero cuando hablas del tiempo adecuado, por definición , te estás adhiriendo a un solo observador : la partícula misma. No tiene sentido decir que la partícula está impulsada con respecto a sí misma. No hay ambigüedad en elegir un marco de referencia antes de decidir realizar una medición, porque el marco de referencia/observador ha sido elegido a priori.

Entonces, el punto es que ambos observadores están "haciendo la misma pregunta", es decir, cuál es la cantidad de tiempo "medido" por la partícula, que debe tener una respuesta invariable ya que la partícula no puede "medir" una cantidad de tiempo distinta de la cantidad que ha "medido" (es decir, no se puede potenciar con respecto a sí mismo). En otros casos, existe una ambigüedad ya que los observadores están "haciendo diferentes preguntas", por ejemplo, cuánto tiempo ha transcurrido para la partícula en relación con mí, o cuánto tiempo ha medido el otro observador para el tiempo transcurrido para la partícula en relación con ellos. .
Es decir, todos los observadores están impulsando al mismo marco de referencia, el de la partícula, y por lo tanto, seguramente todos deben medir el mismo tiempo transcurrido en ese marco.
No incluiría a Alice y Bob en la imagen para medir el tiempo experimentado por la partícula, porque no pueden hacer eso; sólo la partícula puede. Y ese es el punto. Una vez que especifica que desea saber cuál es el tiempo adecuado , solo hay un observador que sigue siendo elegible para medir valores: la partícula. No hay forma de que se pueda impulsar a un nuevo marco con la esperanza de obtener un valor diferente.
Lo siento, no lo expresé muy bien. Quise decir que tanto Alice como Bob están haciendo la misma pregunta: "¿cuál es el tiempo transcurrido entre dos puntos a lo largo de la trayectoria de la partícula, medido por la partícula?". Por supuesto, deberían estar de acuerdo en la respuesta a esta pregunta ya que la partícula mide un único valor para el tiempo transcurrido (sería imposible que se impulsara respecto a sí misma y obtuviera múltiples valores).
Habiendo pensado un poco más en su respuesta, ¿sería correcto decir que el tiempo propio de un objeto se define como el tiempo medido por el objeto mismo, es decir, en el marco de reposo del objeto? Solo hay un marco en el que el objeto estará en reposo -todos los observadores estarán de acuerdo en este hecho- y, como tal, solo se puede medir un valor de tiempo en el que el objeto está en reposo. Por lo tanto, todos los observadores estarán de acuerdo en el momento adecuado del objeto precisamente porque solo puede haber un marco en el que el objeto esté en reposo.
@ user35305 Correcto. Una vez que elige un marco de referencia, solo sigue una definición de tiempo.
Ok, esta es la razón por la que el tiempo propio de un objeto es independiente del observador, ya que se define a priori como el tiempo medido en el marco de reposo (único) de un objeto. ¿He entendido correctamente por qué el tiempo propio es independiente del observador?
@user35305 Sí, eso es correcto

Bueno, que lo que observen las dos personas sea un reloj, un reloj mecánico. Si no están de acuerdo sobre el momento adecuado en su línea de tiempo entre dos eventos, entonces también están en desacuerdo sobre su estado físico en al menos uno de esos eventos en general. Eso significa que, digamos, si los dos observadores y el reloj se encuentran en algún punto de su línea de tiempo, no estarán de acuerdo sobre la hora que dice y todo tipo de otros detalles de su construcción. Eso sería un desastre.

Eso es algo a lo que estaba tratando de aludir en mi OP. También lo es el hecho de que el tiempo adecuado, en cierto sentido, mide la cantidad de proceso físico que ocurre. Por ejemplo, el estado de una partícula evolucionará en su propio marco de reposo a una velocidad dada que es intrínseca a la partícula (y por lo tanto independiente de las coordenadas). Esta evolución se mide por el tiempo propio de la partícula, y si no fuera una cantidad independiente del observador, entonces diferentes observadores estarían en desacuerdo sobre la evolución de la partícula, que es un fenómeno independiente del marco.
El tiempo adecuado es sólo la longitud de una curva. Que diferentes personas difieran al respecto sería tan absurdo como que diferentes personas no estén de acuerdo sobre la distancia entre Londres y París porque están usando mapas diferentes.
Entonces, ¿sería correcto decir intuitivamente que como el tiempo propio es el tiempo medido por la partícula en su marco de reposo, este debe ser una cantidad independiente del observador; sería absurdo que dos observadores diferentes no estuvieran de acuerdo en este valor, ya que entonces estar en desacuerdo sobre la cantidad de tiempo que ha transcurrido para la partícula de acuerdo a la partícula. Esto equivaldría a decir que la partícula ha evolucionado en cantidades diferentes en su propio marco de reposo, lo cual es, por supuesto, absurdo.
@user35305, hmmm... ¿apelar al ridículo? :) Pero, por supuesto, tenemos que permanecer de acuerdo en el tiempo continuo, o no permaneceremos en comunicación entre nosotros y coexistiremos dentro del mismo universo. Obviamente eso tiene poco que ver con la física, más con la filosofía; pero cuando empiezas a hablar de observar el tiempo te alejas rápidamente de la física. Lleve a un sureño de un pueblo pequeño a la ciudad de Nueva York y verá una discrepancia en el "tiempo adecuado". Asumir que los relojes (objetos) son la autoridad sobre el tiempo en lugar de que la vida tenga autoridad es un argumento circular; se prueban relojes por relojes.
Creo que hay que tener cuidado al decir que las cosas son 'absurdas': QM es absurdo, pero correcto, por ejemplo. Dicho esto, el tiempo adecuado a lo largo de un camino es, de hecho, la longitud de tiempo medida por algo cuya línea de tiempo es ese camino, y también es la longitud de ese camino en el espacio-tiempo (el tiempo es longitud). Y la longitud de un camino es algo bien definido, como lo es la longitud de cualquier otro camino: no es algo que dependa de cómo lo describas, y en particular nunca depende del sistema de coordenadas que uses.
@tfb Ok, buen punto. Entiendo que es la longitud de la ruta de un objeto en el espacio-tiempo y, por lo tanto, está bien definida, pero intuitivamente, en un sentido físico, ¿sería correcto decir que el tiempo adecuado entre dos puntos para un objeto es independiente del observador, ya que es el tiempo medido por el propio objeto en su marco de reposo. Por lo tanto, todos los demás observadores deben estar de acuerdo con este valor ya que todos "preguntan" sobre la misma cantidad: "¿cuál es el tiempo transcurrido para el objeto en relación con ese objeto?" Que por supuesto debe tener la misma respuesta, de lo contrario uno podría tener un escenario donde...
@tfb ... el objeto ha medido un tiempo adecuado de 10 s relativo a sí mismo (por ejemplo), y un observador (en un marco de referencia diferente) afirmaría que el objeto ha medido un tiempo diferente relativo a sí mismo, digamos 530 s . Esto sería contradictorio y sin sentido, ya que implicaría que el objeto ha "experimentado" dos tiempos diferentes a la vez en su propio marco de reposo. Disculpas, dejaré de divagar después de este comentario, ¿solo quiero comprobar si tengo la intuición correcta?

Sí, esa es una forma válida de entender por qué el tiempo propio es invariable; de hecho proviene de una pregunta invariable.

También soy un gran fanático de la introducción de las transformadas de Lorentz al observar primero la transformada para pequeños v que esencialmente establece γ = 1 y encontrando solo X ′ = X − v   t ,     t ′ = t − v X / C 2 . Esta vista simplificada le muestra que tratar de comparar las diferencias de tiempo entre cosas en dos posiciones diferentes es tan variado como tratar de comparar las diferencias de posición entre cosas en dos momentos diferentes: la distancia entre Kansas City y Washington es de alrededor de 1.500 kilometros si está hablando de un instante de tiempo, pero si estamos hablando de la distancia entre Kansas City y Washington DC dos horas y media más tarde, entonces necesitamos saber su marco de referencia porque a partir de mi perspectiva todavía están 1.500 kilometros aparte, pero hay otra perspectiva (un avión que vuela de KCI a Dulles) para quienes esos lugares son "están justo aquí, afuera de mi ventana". Esto es para no hablar de otras dos perspectivas razonables, la perspectiva geocéntrica no rotativa por la que Washington se ha movido, creo. 37.5 ∘ al este y por lo tanto es 4.700 kilometros de donde estaba Kansas City, o el marco heliocéntrico donde esas dos ubicaciones difieren en aproximadamente 270.000 kilometros separados más o menos, dependiendo de la hora del día que sea. Debe tener mucho cuidado al decir "Quiero que la distancia entre estas dos cosas en este momento ", en la física clásica, tenga un número en el que todas estas perspectivas puedan estar de acuerdo. 1

De manera similar, a medida que avanzamos hacia la relatividad, debemos tener mucho cuidado de decir "Quiero que el tiempo transcurrido entre estos dos eventos, en el marco de referencia inercial donde ambos ocurrieron en el mismo lugar ", para que ambos eventos sucedieran "aquí mismo". ", de lo contrario estaremos muy confundidos. Este tiempo transcurrido es el llamado "tiempo propio" entre los eventos.

  1. Como puede ver, esto también se vuelve un poco más difícil en la relatividad, ya que comenzamos a estar en desacuerdo sobre cuándo estamos en lugares remotos en este momento . Técnicamente, tenemos que decir en el marco de referencia de movimiento conjunto que los ve a ambos en reposo para objetos que existen durante largos períodos de tiempo, y estamos permanentemente insatisfechos si ambos no están en reposo entre sí, o de lo contrario, podemos hablar de una distancia adecuada entre eventos instantáneos tal como lo hacemos para la separación de tiempo; entonces está en el marco de referencia inercial donde ambos ocurrieron al mismo tiempo .

    De hecho, la relatividad especial convierte a estos dos en circunstancias disjuntas: los eventos que están objetivamente separados por la distancia generalmente admiten marcos de referencia que dicen "ambos ocurrieron al mismo tiempo", mientras que los eventos que están objetivamente separados por el tiempo generalmente admiten marcos de referencia que dicen "ambos ocurrieron al mismo tiempo". sucedió aquí mismo, en el mismo lugar". La diferencia definitoria es si la luz de un evento podría haber alcanzado la ubicación del otro antes de que sucediera; y las únicas excepciones son los fotogramas "separados por nulos" en los que la luz de un evento apenas ha llegado al otro en el momento en que ocurrió el nuevo evento. Estos eventos "separados nulamente" forman la tercera posibilidad, "uno estaba objetivamente antes que el otro y objetivamente no estaban en el mismo lugar,

Creo que respondiste tu propia pregunta correctamente, pero estás cerca de combinar el tiempo adecuado y el intervalo de espacio-tiempo .

El tiempo adecuado es invariante por definición. El tiempo propio es el tiempo transcurrido en un marco donde un objeto (o evento) está en reposo. En un marco donde d X = 0 tal que d s = C d t := d τ .

Por ejemplo, su estómago digirió su almuerzo durante un período de tiempo hoy. Supongo que es un postulado que usted y todas las personas sentadas en su mesa de almuerzo medirían la misma cantidad de tiempo que le tomó a su estómago digerir su comida.

El postulado es que ocurrió algún proceso físico en el universo y que esto es un hecho indiscutible sin importar tu marco, sin importar tus coordenadas en el espacio o tu velocidad.

Usted, tal vez tomando una siesta en un coma alimentario, mediría lo que llamamos el tiempo adecuado, adecuado porque en su marco de referencia su estómago está en reposo.


¿Qué pasa con los marcos móviles? Postulamos que el proceso físico de su estómago comiendo, posiblemente en un club de pavo, probablemente con queso, también debería ser observable en cualquier otro marco de referencia en el universo, y estos marcos de referencia deberían poder estar de acuerdo en que, en nuestro universo, tu sándwich fue digerido con satisfacción. Entonces, debe haber alguna invariante entre los marcos de referencia en la que todos los observadores puedan estar de acuerdo.

Sin embargo, todos nuestros cronómetros que cronometraron su digestión no estarán de acuerdo. tiempo medido d t por lo tanto, no es el invariante que estamos buscando.

Pero, si también postulamos una velocidad finita de la luz en todos los marcos de referencia inerciales, concluimos que el espacio-tiempo en nuestro universo se puede describir como un sistema de coordenadas 4D con una firma métrica, digamos (1,-1,-1,-1 ). La distancia entre dos puntos en este sistema de coordenadas, d s 2 = C 2 d t 2 − d X 2 , no depende de cómo se oriente o traduzca sus coordenadas, y es el invariante que buscamos d s 2 = d s ′ 2 .


El tiempo propio es, por definición, el tiempo transcurrido en un marco donde d X = 0 , y puede estar de acuerdo con cualquier observador que mida el intervalo invariante d s en su marco.

¡Buena respuesta! Siguiendo su ejemplo intuitivo, ¿sería correcto decir que el tiempo adecuado entre dos puntos para un objeto es independiente del observador, ya que es el tiempo medido por el objeto mismo en su marco de reposo? Por lo tanto, todos los demás observadores deben estar de acuerdo con este valor ya que todos "preguntan" sobre la misma cantidad: "¿cuál es el tiempo transcurrido para el objeto en relación con ese objeto?" Que, por supuesto, debe tener la misma respuesta, de lo contrario, uno podría tener un escenario en el que el objeto ha medido un tiempo adecuado de 10 s relativo a sí mismo (por ejemplo), y un observador...
... (en un marco de referencia diferente) afirmaría que el objeto ha medido un tiempo diferente relativo a sí mismo, digamos 530 s . Esto sería contradictorio y sin sentido, ya que implicaría que el objeto ha "experimentado" dos tiempos diferentes a la vez en su propio marco de reposo.
Exactamente. Parece que vivimos en un universo donde hay una 'realidad objetiva' en la que cualquier observador debería poder estar de acuerdo, sin importar cómo observaron dos eventos. Cuando se habla de dos eventos, no todos los observadores estarán de acuerdo con el tiempo del cronómetro o las distancias de la regla. Pero, algo en lo que estarán de acuerdo es el intervalo d s 2 = C 2 d t 2 − d X 2 . Algunos observadores estarán en un marco donde d X ′ = 0 , por lo que solo medirán d s ′ = C d t ′ = C d τ . Debido a que están en un marco en el que midieron los dos eventos sin necesidad de una regla, solo necesitaron un cronómetro, llamamos a su tiempo de cronómetro el tiempo adecuado.
Intuición física de por qué el tiempo adecuado es una cantidad invariable
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