¿Cómo funciona la notación de 4 vectores?

$X^\mu,X^\nu$y$X^\sigma$son todos los mismos cuatro vectores. La letra utilizada para el superíndice o el subíndice no importa. Si un índice no se contrae con otro índice para formar un escalar, como en$X^\mu X_\mu$, entonces es solo un marcador de posición que puede tomar el valor 0, 1, 2 y 3 (o, a veces, las personas usan t, x, y y z). Por ejemplo, ya sea

o

es solo una abreviatura de cuatro ecuaciones,

Cuando un índice aparece dos veces en el mismo lado de la ecuación, una hacia arriba y otra hacia abajo, esto se denomina contracción y debe sumar los cuatro valores del índice:

$\partial^\mu$y$\partial^\nu$ambos significan$\big({\partial\over \partial t},-\vec \nabla\big)$(si toma la métrica como +---). Pero$\partial_\mu$y$\partial_\nu$ambos significan$\big({\partial\over \partial t},\vec \nabla\big)$.

Entonces, hay muchas maneras de entender esto, pero aquí está la vista de "notación de índice abstracto" de esos.

1. Tienes un espacio vectorial, llámalo$\mathcal V^\bullet$. En este caso, estos son sus cuatro vectores que están destinados a transformarse como$(ct, x, y, z)$hacer en relatividad, pero también puedes usar esta notación en otros lugares.
2. Tienes un espacio de covectores, mapas lineales de$\mathcal V^\bullet$a los números reales$\mathbb R.$Resultará que estos están en perfecta correspondencia con sus vectores, por lo que llamamos a este espacio$\mathcal V_\bullet.$
3. Creamos un montón de copias de$\mathcal V^\bullet$y$\mathcal V_\bullet,$uno para cada símbolo que le interese. Por lo que podría indicar las copias con letras griegas reemplazando el$\bullet$, como el espacio$\mathcal V^\mu$es una copia de$\mathcal V^\bullet.$También denotamos a cualquier habitante de una copia con un índice en superíndice en relieve que indica a qué espacio pertenece. Entonces$v^\mu$es un vector que vive en$\mathcal V^\mu.$Estos están conectados por el isomorfismo de reetiquetado $\delta^\bullet_\bullet$que puede tomar un vector en$\mathcal V^\mu$y decirte cual es el mismo vector en el espacio$\mathcal V^\nu.$
4. Similarmente hacemos esto para los covectores, pero cuando vemos el mismo índice repetido para un vector y un covector, entendemos que significa aplicar el covector al vector para producir un escalar. Entonces$v_\mu v^\nu$no es un escalar pero lo llamamos un "producto externo", que vive en un espacio "tensor"$\mathcal T^\nu_\mu$, el espacio de todos los mapas multilineales de pares$\mathcal V^\mu \times \mathcal V_\nu \to \mathbb R.$Pero$v_\mu v^\mu,$porque el índice se repite, significa aplicar el covector al vector para crear un escalar, por lo que es un número real.
5. También tenemos, como indicaba el punto anterior, estos espacios tensoriales , que son aplicaciones multilineales de las copias asociadas de vectores y covectores a nuestros escalares. Una suposición clave que debemos exigir para que el axioma de "contracción" anterior sea completamente general es que cualquier tensor se puede representar como una suma finita de productos de vectores y covectores. Entonces, el isomorfismo de reetiquetado es un mapa lineal de un espacio de vectores a otro, pero también puede verlo como una forma lineal de aplicar los covectores de ese último espacio al primero.$\delta^\alpha_\beta$es en$\mathcal T^\alpha_\beta.$
6. Extendemos la noción anterior de aplicar un covector a un vector al afirmar, por mandato, que solo nos importan los casos en los que cada tensor se puede escribir como una suma finita de productos externos de vectores y covectores. Entonces, dado un tensor$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$(por lo general, el orden de los índices importa mucho debido al siguiente punto), vivir en$\mathcal T^{\alpha\beta\gamma\epsilon}_{\delta}$(sin embargo, el orden no importa para el espacio tensorial), podemos contraer , digamos,$\beta$con$\delta$. Escribiríamos esto como$\delta^\delta_\beta ~t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$o solo$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\beta},$y es un tensor que vive en$\mathcal T^{\alpha\gamma\epsilon}$. Así que lo que hicimos aquí es que lo expandimos en una suma finita de vectores y covectores en$\mathcal V^\alpha \times \mathcal V^\beta \times \mathcal V^\gamma \times \mathcal V_\delta \times \mathcal V^\epsilon$y luego aplicamos todos los covectores que viven en$\mathcal V_\delta$a todos los vectores que viven en$\mathcal V^\epsilon$y cada uno de ellos nos dio un número real por un tensor, que es otro tensor, así que sumamos todos los tensores resultantes todavía en$\mathcal T^{\alpha\gamma\epsilon}.$
7. Finalmente presentamos un tensor especial y su inverso, el tensor "métrico". Ya has oído que esto se llama "producto escalar" antes. A menudo se escribe$g_{\bullet\bullet},$es la forma canónica de tomar dos vectores y producir un escalar. También se puede ver como la forma canónica de tomar un vector y producir un covector. es simétrico :$g_{\alpha\beta} = g_{\beta\alpha}.$Como te dije arriba en el punto (2), dije que los covectores están en perfecta correspondencia con los vectores: lo que significa que también hay un tensor inverso$g^{\bullet\bullet}$que lo deshace, para que$g^{\alpha\beta}~g_{\beta\gamma} = \delta^\alpha_\gamma.$Así que hay una manera de cualquier vector$\vec v$para llegar al covector$(\vec v~\cdot~)$y vuelta
8. El uso de este tensor nos permite subir y bajar arbitrariamente cualquier índice y, por lo tanto, contraer dos índices, en cualquier tensor. Así que recordando$t^{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\delta}$, podemos formar $$t^{\alpha\beta\gamma\delta\epsilon} = g^{\delta\phi}~{\alpha\beta\gamma~~\epsilon}_{~~~~~~\phi}$$ y esa es la forma canónica de "levantar" eso$\delta$índice de menor a mayor: simplemente entendemos implícitamente que cuando usó el mismo símbolo base$t$para denotar el tensor, quisiste decir que querías que los consideráramos iguales. Por eso también dije arriba que el "orden importa", es porque quieres que esto sea siempre una operación común.

Ahora, todo lo anterior sucede sin ninguna noción de coordenadas o base, pero puede estar interesado en usarlos. Así que podríamos reservar el alfabeto más habitual de letras romanas/inglesas para variables que indican números , y hacer que no formen parte de los índices abstractos anteriores. Así que podríamos inventar un montón de covectores que podríamos llamar "extractores de componentes",$w_\alpha$es un covector que toma un$v^\alpha$de cuatro vectores y extrae su componente en el$w=ct$-dirección,$x_\alpha$de manera similar podría extraer un componente en el$x$-dirección,$y_\alpha$,$z_\alpha$asimismo. Y podríamos decidir que es más fácil simplemente numerarlos como$b^{0,1,2,3}_\alpha$. Y la propiedad clave es que también debe haber algunos vectores base en el espacio,$b^\alpha_{0,1,2,3},$tal que