Teorema de Noether, simetría de gauge y conservación de la carga

Question

Teorema de Noether, simetría de gauge y conservación de la carga

FraSchelle

Estoy tratando de entender el teorema de Noether y su aplicación para medir la simetría. Debajo de lo que he hecho hasta ahora.

Primero, la simetría de calibre global. estoy empezando con el lagragiano

L_{1} = \partial^{m} Ψ \partial_{m} Ψ^{*} - {metro}^{2} {| Ψ |}^{2}

$L_{1}=\partial^{\mu}\Psi\partial_{\mu}\Psi^{\ast}-m^{2}\left|\Psi\right|^{2}$ con campos complejos clásicos. Este lagragiano es invariante con respecto a la simetría de calibre global

Ψ \to \tilde{Ψ} = e^{i θ} Ψ

$\Psi\rightarrow\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}\theta}\Psi$ , ... tal que termino con

d S = \int d v [\frac{d L_{1}}{d Ψ} d Ψ + \frac{d L_{1}}{d Ψ^{*}} d Ψ^{*} + i (Ψ \partial^{m} Ψ^{*} - Ψ^{*} \partial^{m} Ψ) \partial_{m} d θ] = \int d v [\partial_{m} j^{m}] d θ

$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{1}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\mathbf{i}\left(\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}-\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi\right)\partial_{\mu}\delta\theta\right]=\int dv\left[\partial_{\mu}j^{\mu}\right]\delta\theta$ siempre que las ecuaciones de movimiento (

δ L / δ Ψ = 0

$\delta L / \delta \Psi = 0$ , ...) son validos. Todo el tiempo estoy usando eso

\frac{d L}{d ϕ} = \frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{m} \frac{\partial L}{\partial [\partial_{m} ϕ]}

$\dfrac{\delta L}{\delta\phi}=\dfrac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_{\mu}\dfrac{\partial L}{\partial\left[\partial_{\mu}\phi\right]}$ y eso

\int d v = \int d^{3} x d t

$\int dv=\int d^{3}xdt$ para abreviar. La corriente conservada es por supuesto

j_{1}^{m} = i (Ψ^{*} \partial^{m} Ψ - Ψ \partial^{m} Ψ^{*})

$j_{1}^{\mu}=\mathbf{i}\left(\Psi^{\ast}\partial^{\mu}\Psi-\Psi\partial^{\mu}\Psi^{\ast}\right)$ ya que

δ S / δ θ = 0 \Rightarrow \partial_{μ} j_{1}^{μ} = 0

$\delta S / \delta \theta =0 \Rightarrow\partial_{\mu}j_{1}^{\mu}=0$ .

Aquí está mi primera pregunta: ¿Es esta realmente la demostración de la conservación de la carga? Hasta ahora me parece que solo demostré que el número de partículas se conserva, no hay carga por el momento...

Luego, cambio a la simetría de calibre local. Estoy empezando con el siguiente Lagrangiano

L_{2} = (\partial^{m} + i q A^{m}) Ψ (\partial_{m} - i q A_{m}) Ψ^{*} - {metro}^{2} {| Ψ |}^{2} - \frac{F_{m v} F^{m v}}{4}

$L_{2}=\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi\left(\partial_{\mu}-\mathbf{i}qA_{\mu}\right)\Psi^{\ast} -m^{2}\left|\Psi\right|^{2} -\dfrac{F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}}{4}$ con

F^{μ ν} = \partial^{μ} A^{ν} - \partial^{ν} A^{μ}

$F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$ . Este Lagrangiano es invariante con respecto a la transformación de norma local

L_{2} [\tilde{Ψ} = {mi}^{i q φ (X)} Ψ (X), {\tilde{Ψ}}^{*} = {mi}^{- i q φ (X)} Ψ^{*}, {\tilde{A}}_{m} = A_{m} - \partial_{m} φ] = L_{2} [Ψ, Ψ^{*}, A_{m}]

$L_{2}\left[\tilde{\Psi}=e^{\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi\left(x\right),\tilde{\Psi}^{\ast}=e^{-\mathbf{i}q\varphi\left(x\right)}\Psi^{\ast},\tilde{A}_{\mu}=A_{\mu}-\partial_{\mu}\varphi\right]=L_{2}\left[\Psi,\Psi^{\ast},A_{\mu}\right]$

Luego tengo

d S = \int d v [\frac{d L_{2}}{d Ψ} d Ψ + \frac{d L_{2}}{d Ψ^{*}} d Ψ^{*} + \frac{d L_{2}}{d A_{m}} d A_{m}]

$\delta S=\int dv\left[\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}\delta\Psi+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi^{\ast}}\delta\Psi^{\ast}+\dfrac{\delta L_{2}}{\delta A_{\mu}}\delta A_{\mu}\right]$ con

δ Ψ = i q Ψ δ φ

$\delta\Psi=\mathbf{i}q\Psi\delta\varphi$ ,

δ A_{μ} = - \partial_{μ} δ φ

$\delta A_{\mu}=-\partial_{\mu}\delta\varphi$ , ... tal que termino con

\frac{d S}{d φ} = \int d v [i q Ψ \frac{d L_{2}}{d Ψ} + C . C . + \partial_{m} [j_{2}^{m} - \partial_{v} F^{v m}]]

$\dfrac{\delta S}{\delta\varphi}=\int dv\left[\mathbf{i}q\Psi\dfrac{\delta L_{2}}{\delta\Psi}+c.c.+\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]\right]$ con

j_{2}^{μ} = \partial L_{2} / \partial A_{μ}

$j_{2}^{\mu}=\partial L_{2}/\partial A_{\mu}$ y

F^{ν μ} = \partial L_{2} / \partial [\partial_{ν} A_{μ}]

$F^{\nu\mu}=\partial L_{2}/\partial\left[\partial_{\nu}A_{\mu}\right]$

Entonces, por aplicación de las ecuaciones de movimiento, tengo

\partial_{m} [j_{2}^{m} - \partial_{v} F^{v m}] = 0 \Rightarrow \partial_{m} j_{2}^{m} = 0

$\partial_{\mu}\left[j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\right]=0\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$ ya que

\partial_{μ} \partial_{ν} F^{ν μ} = 0

$\partial_{\mu}\partial_{\nu}F^{\nu\mu}=0$ por construcción. Por supuesto, la nueva corriente es

j_{2}^{m} = i q (Ψ^{*} (\partial^{m} + i q A^{m}) Ψ - Ψ (\partial^{m} - i q A^{m}) Ψ^{*})

$j_{2}^{\mu}=\mathbf{i}q\left(\Psi^{\ast}\left(\partial^{\mu}+\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi-\Psi\left(\partial^{\mu}-\mathbf{i}qA^{\mu}\right)\Psi^{\ast}\right)$ y depende explícitamente del cargo. Entonces me parece que este es un mejor candidato para la conservación de la carga.

NB: Como se comentó en http://arxiv.org/abs/hep-th/0009058 , Eq.(27) también se puede suponer que las ecuaciones de Maxwell son válidas ( $j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu} = 0$ , ya que después de todo también son parte de la ecuación del movimiento, llegaré más adelante a este punto, que me suena raro), y terminamos con la misma corriente, una vez más conservada.

Sin embargo, todavía tengo algunos problemas. De hecho, si calculo abruptamente las ecuaciones de movimiento del Lagrangiano, termino con (para el $A_{\mu}$ ecuación de movimiento)

j_{2}^{m} - \partial_{v} F^{v m} \Rightarrow \partial_{m} j_{2}^{m} = 0

$j_{2}^{\mu}-\partial_{\nu}F^{\nu\mu}\Rightarrow\partial_{\mu}j_{2}^{\mu}=0$ por definición de la

F^{μ ν}

$F^{\mu \nu}$ tensor.

Entonces, mis otras preguntas : ¿Hay una mejor manera de mostrar la conservación de la carga EM? ¿Hay algo mal con lo que hice hasta ahora? ¿Por qué el teorema de Noether no parece darme algo que no esté en las ecuaciones de los movimientos? dicho de otra manera: ¿Por qué debería usar la maquinaria de Noether para algo que está intrínsecamente implementado en el Lagrangiano y, por lo tanto, en las ecuaciones de movimiento para los campos independientes? (¿Es porque mi Lagrangiano es demasiado simple? ¿Es debido a los múltiples términos de contorno que cancelo?)

Gracias por adelantado.

PD: Tengo la sensación de que parte de la respuesta estaría en la diferencia entre lo que los físicos de alta energía llaman estructura "en el caparazón" y "fuera del caparazón". Hasta ahora, nunca entendí la diferencia. Esa debería ser mi última pregunta hoy :-)

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/48305/2451 y physics.stackexchange.com/q/26990/2451 y sus enlaces.

FraSchelle

De hecho, relacionado, pero no del todo satisfactorio para mí :-). ¿Por qué se dice ampliamente que la simetría de calibre global es la responsable de la conservación de la carga? ¿Qué pasa con el local? ¿Qué pasa con la redundancia de la simetría local en términos del teorema de Noether? He pasado horas en el sitio hoy sin encontrar una respuesta correcta. Pero me encantaría verlo, por supuesto :-)

Respuestas (3)

Teorema de Noether, simetría de gauge y conservación de la carga

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/48305/2451 y physics.stackexchange.com/q/26990/2451 y sus enlaces.
De hecho, relacionado, pero no del todo satisfactorio para mí :-). ¿Por qué se dice ampliamente que la simetría de calibre global es la responsable de la conservación de la carga? ¿Qué pasa con el local? ¿Qué pasa con la redundancia de la simetría local en términos del teorema de Noether? He pasado horas en el sitio hoy sin encontrar una respuesta correcta. Pero me encantaría verlo, por supuesto :-)

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v1):

Primero lo último. On-shell significa (en este contexto) que se cumplen las ecuaciones de movimiento (eom). Ecuaciones de movimiento significa ecuaciones de Euler-Lagrange . Fuera del caparazón significa estrictamente hablando que no está en el caparazón, pero en la práctica siempre se usa en el sentido de no necesariamente en el caparazón. [Hagamos hincapié en que cada transformación infinitesimal es una simetría en el caparazón de una acción, por lo que una simetría en el caparazón es una noción vacía. Por lo tanto, en física, cuando afirmamos que una acción tiene una simetría, siempre se entiende implícitamente que la simetría es una simetría fuera de la cáscara. ]
OP escribió: Aquí está mi primera pregunta: ¿Es esta realmente la demostración de la conservación de la carga (eléctrica)? Para esa acción en particular: Sí. Más generalmente para QED: No, porque el $4$ -potencial de calibre $A_{\mu}$ , el término de Maxwell $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ , y falta el acoplamiento mínimo en la acción de OP. En principio, no es suficiente mirar solo el sector de la materia. Por otro lado, la simetría de calibre global para la acción completa $S[A,\Psi]$ conduce a la conservación de la carga eléctrica, cf. El primer teorema de Noether . [Dos comentarios para recalcar el punto de que es necesario considerar también el sector de calibre: (i) Si estuviéramos haciendo QED escalar (en lugar de QED ordinario), se sabe que la corriente de Noether $j^{\mu}$ en realidad depende de la $4$ -potencial de calibre $A_{\mu}$ , por lo que el sector de calibre es importante, cf. esta publicación Phys.SE. (ii) Otro problema es que si seguimos el método de OP y se supone que debemos tratar el $4$ -potencial de calibre $A_{\mu}$ como fondo clásico (que OP pone a cero), entonces presumiblemente también deberíamos asumir las ecuaciones de Maxwell $d_{\mu}F^{\mu\nu}=-j^{\nu}$ . Las ecuaciones de Maxwell implican por sí mismas la ecuación de continuidad $d_{\mu}J^{\mu}=0$ incluso antes de que apliquemos los Teoremas de Noether.]
No hay una cantidad conservada asociada con la simetría de calibre local per se, cf. Segundo teorema de Noether . (Su identidad fuera de la cáscara de Noether es una trivialidad. Consulte también esta pregunta de Phys.SE).
Tal vez una comparación útil. Es posible considerar un modelo EM de la forma
$S [A] = \int d^{4} X (- \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + j^{m} A_{m}),$ $S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$ donde $J^{\mu}$ se tratan como fuentes de materia de fondo clásicas no dinámicas pasivas. En otras palabras, solo los campos de indicador $A_{\mu}$ son variables dinámicas en este modelo. Antes incluso de comenzar, tenemos que asegurarnos de que la acción sea simétrica del calibre local (fuera de la carcasa). $S[A]$ hasta los términos de frontera. Esto implica que las fuentes de fondo clásicas $J^{\mu}$ debe satisfacer la ecuación de continuidad $d_{\mu}J^{\mu}=0$ fuera de la cáscara. Por lo tanto, se nos impone una ley de conservación incluso antes de que apliquemos los teoremas de Noether. Tenga en cuenta que la simetría de calibre global es una declaración vacía en este modelo.

1. Gracias por esta respuesta 2. Todavía no entiendo por qué agregar nuevos elementos en el Lagrangiano cambiaría el actual, ya que todos los términos en el Lagrangiano simplemente se suman, como en esta publicación: physics.stackexchange.com/q/48305 . Finalmente, 3. Nunca me impongo $j = \partial F$ en el argumento de calibre local, eso es lo que sale del eom, al contrario de lo que se afirma en esta publicación: physics.stackexchange.com/q/26990 .
1. De nada. 2. El hecho de que su método dé el resultado correcto no significa que su método sea correcto. 3. Tenga en cuenta que la respuesta de Lubos Motl opera con dos definiciones diferentes de $j^{\mu}$ .
Exactamente ! Y me gustaría entender por qué :-) ¿Hay algún libro donde se discutan estas preguntas? Itzyckson y Zuber me detallaron demasiados casos. Pensé que la referencia de Brading y Brown estaba bien (como di en mi pregunta). Aparentemente, me dijiste que hay muchos errores por ahí... pero hice el cálculo en detalle, entonces, ¿dónde están (están :-) los errores? He intentado leer Aitchison y Hey, pero el teorema de Noether no está realmente relacionado con su presentación. Weinberg es demasiado descuidado para mí. También revisé a Nakahara y Frankel (geometría y física): solo el ...
... primero se trata el teorema de Noether. ¡Así que empiezo a rascarme la cabeza, calcular y preguntarte :-)!
Acabo de ver tu última edición (punto 4). ¡Muchas gracias por este comentario esclarecedor! Exactamente estaba considerando este punto cuando estaba considerando la simetría de calibre local, pero nunca pensé que la simetría de calibre estaba "fuera de la cáscara". Ahora entiendo un poco mejor sus comentarios anteriores. Genial gracias de nuevo Pero, si entiendo su punto, significa que cada simetría está "fuera de la cáscara", ya que debe conectarse al Lagrangiano antes de que se pueda esperar que cualquier cálculo sea correcto. ¿Estoy en lo cierto? ¿No es un poco injusto, ya que al cambiar la simetría hay que cambiar el Lagrangiano, luego cambiar el eom,...
... luego cambie la estructura "en el caparazón", ¿no es así? ¿O de nuevo hay algo que no me queda claro? Gracias de nuevo por este comentario por cierto. Estoy progresando un poco en QFT gracias a ti.
Oye, mi error... Creo que pude haber entendido este problema "fuera de la estructura" para el Lagrangiano específico que diste... de hecho, no es invariante de calibre local, por lo que la simetría de calibre es necesariamente "fuera de la estructura" en este caso . ¿Estoy en lo cierto? Pero, ¿diría que para el hamiltoniano que di en la pregunta, la simetría de calibre local está "fuera de la cáscara"? No me parece. ¿Estoy en lo cierto?
1. Sí, cada transformación infinitesimal es una simetría en el caparazón de la acción, por lo que una simetría en el caparazón es una noción vacía. 2. Bueno, para empezar, solo estamos considerando acciones de EM con invariancia de calibre local (fuera de la carcasa). 3. Sugiero por simplicidad mantener la discusión lagrangiana. La formulación hamiltoniana pertenece a otra publicación de Phys.SE.
Oups, mi error otra vez. Estoy demasiado acostumbrado a discutir solo hamiltoniano que cometí el error. Estaba hablando del Lagrangiano que di para la transformación de calibre local.
Hablé con un amigo más involucrado en QFT hoy, y me dio el siguiente argumento sobre on/off-shell: cuando se trata de la expansión de la perturbación, uno se preocupa por las propiedades (simetrías) que verifica el Lagrangiano y que cada término en la expansión debe verificar también (y lo que puede imponer a mano), y el requisito adicional de cantidades conservadas (corriente) que el sistema verifica intrínsecamente, ya que proviene de las ecuaciones de movimiento. Las primeras cantidades (provenientes, por ejemplo, de la simetría de calibre global) se denominan fuera de la capa, mientras que las segundas se denominan dentro de la capa.
¿Podría por favor confirmar (o corregir) esta afirmación?
La noción de on-shell y off-shell se explica al comienzo de la respuesta. Son nociones importantes en la formulación del 1er y 2do Teorema de Noether.
OK gracias. Me preguntaba por qué es tan importante en QFT marcar la diferencia entre dentro y fuera de la carcasa.
Publiqué una nueva pregunta sobre eso en realidad, ya que creo que una definición no es una explicación :-). Está ahí: physics.stackexchange.com/q/59333
Con respecto a 3.: ciertamente hay una corriente conservada asociada con la invariancia de calibre local: es la corriente de Noether asociada con el subgrupo global en el que el parámetro de calibre es constante. Es cierto que solo se conserva si asume la ecuación de movimiento del campo de materia o de calibre, pero esto es típico de las corrientes de Noether.
1. Las ecuaciones de Maxwell implican por sí mismas la conservación de la carga sin utilizar los teoremas de Noether ni la simetría de gauge. 2. La prueba de la conservación de la carga a través del primer teorema de Noether y la simetría de calibre global no utiliza las ecuaciones de Maxwell.
Hola, ¿no es una contradicción entre 3 y 4 en tu respuesta? Con respecto al ejemplo que diste en 4, de hecho hay una cantidad conservada (es decir, las fuentes de fondo) asociada con la simetría de calibre local. Así que no entiendo por qué dijiste "No hay una cantidad conservada asociada con la simetría de calibre local" en 3.
La fuente de corriente es diferente de la segunda corriente de Noether.

mate reece · Answer 2

¿Es esta realmente la demostración de la conservación de la carga?

Sí. El cargo se define como $Q = \int d^3x~j^0$ , asi que $\partial_\mu j^\mu = 0$ muestra que se conserva.

Hasta ahora me parece que solo demostré que se conserva el flujo de probabilidad, no hay cargo por el momento...

Lo que demostraste es que la corriente se conserva. No creo que debas llamar a esto un "flujo de probabilidad"; suena como si estuvieras confundiendo $\Psi$ con una función de onda, cuando en realidad es un campo cuántico.

Ups, tienes toda la razón, estaba confundido $\Psi$ y decir $\left| \Psi \right)$ ! Debería haber dicho: parece que acabo de probar la conservación del número de partículas (que sé que se puede llamar carga (Noether), pero estoy tratando de entender la carga EM, por supuesto). Edito la pregunta. Gracias por el comentario. También intentaré agregar algunas ediciones sobre los comentarios de Qmechanic. Gracias de nuevo.

Motl de Luboš · Answer 3

El OP me pidió que diera una respuesta a esta pregunta. Bueno, todas las preguntas parecen ser sobre la "necesidad" del teorema de Noether.

Entonces, la respuesta es que el procedimiento de Noether es la forma de derivar la corriente a partir de una simetría conocida. Esto es muy útil porque generalmente sabemos muy bien cómo actúa una simetría, porque sabemos cómo se transforma el campo debajo de ella o cómo las cosas giran o se desplazan bajo las operaciones del espacio-tiempo, etc. Por otro lado, la forma precisa de la corriente conservada se vuelve mucho menos obvia. , especialmente una vez que comenzamos a agregar varias interacciones. Hay "prácticamente" solo una solución para conservar la corriente y el procedimiento de Noether es una forma de obtener esta forma correcta. Bueno, sí, la forma de la corriente está "contenida" en el Lagrangiano o en las ecuaciones de movimiento, pero no es obvio cómo "extraerla", y es por eso que apreciamos el procedimiento de Noether. Si tiene un algoritmo diferente sobre cómo extraerlo, díganos,

Ahora, volvamos al primer ejemplo de la pregunta.

Para los campos que no interactúan, el número de partículas, sus cuantos, se conserva por completo. De hecho, cada campo libre de especies $s$ en cada estado dado por un impulso $k$ y polarización $\lambda$ etc. se conserva, $N_{s,\lambda,\dots}(k,\dots)={\rm const}$ . Pero esta es claramente una situación especial cuando las interacciones no existen y este caso no es físicamente interesante.

Las teorías interesantes solo comienzan una vez que tenemos algunas interacciones. Destruyen casi todas estas "leyes de conservación". En particular, no es cierto que el número de partículas se conserve en la teoría cuántica de campos. Podemos crear pares electrón-positrón a partir de energía pura, y así sucesivamente. Solo se conservan algunas cantidades, como cargas, energía/momento, momento angular, están en correspondencia biunívoca con las simetrías y las corrientes correspondientes (que incluyen el tensor de tensión-energía) pueden derivarse mediante el procedimiento de Noether.

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