¿Por qué las transformaciones de fase global conducen a la conservación de la carga?

Actualmente estoy escribiendo un informe sobre los conceptos básicos de la invariancia de calibre cuántico y hay un concepto con el que estoy luchando.

Una primera parte de mi discusión en el informe se refiere a la conservación de carga en QM y quiero explicar brevemente cómo surge de la invariancia bajo una transformación de fase global. mi i θ . Entiendo por qué tenemos invariancia, como

| ⟨ ψ | ψ ⟩ | 2 = | ⟨ ψ ′ | ψ ′ ⟩ | 2
dónde | ψ ′ ⟩ = mi i θ | ψ ⟩ dónde | ψ ⟩ es la función de onda de alguna partícula cargada, pero no entiendo por qué la conservación de la carga surgiría intuitivamente de esta invariancia.

He visto esto comparado con cómo la naturaleza arbitraria de la escala potencial conduce a la conservación de la carga a través del argumento de que si no se conserva la carga, tampoco se conservará la energía, por lo tanto, la carga debe conservarse. Pero realmente no puedo entender cómo algún cambio de fase correspondería de alguna manera a cambiar nuestro potencial arbitrariamente.

Respuestas (1)

El "cambio de fase" ordinario en QM no conduce a la conservación de la carga. Esto se debe simplemente a que todos los estados en QM tienen este tipo de fase arbitraria, ya sea que estén cargados o no, ya sea que consideremos el campo electromagnético o no. Es simplemente una consecuencia de que los "estados" en realidad son rayos en el espacio de Hilbert, y no vectores individuales.

La conservación de la carga surge de otra simetría: si q es el operador de carga eléctrica, entonces los estados se transforman bajo las transformaciones inducidas por este operador por mi i q t , que es una transformación de fase simple solo para estados propios de q , es decir estados con carga definida.

No puede explicar adecuadamente la conservación de carga en QM ordinario; allí simplemente tiene que aceptar que hay un operador de carga q que conmuta con el hamiltoniano y, por lo tanto, se conserva en todos los sentidos significativos. Si vas a QFT, entonces las versiones cuánticas del teorema de Noether, las identidades de Ward-Takahashi , se aplican a la versión global de la tu ( 1 ) simetría y son el enunciado correcto de la conservación de la carga. Tenga en cuenta que es la simetría global , no la simetría de calibre, lo que conduce a la conservación tanto en el caso clásico como en el cuántico (cf., por ejemplo, esta respuesta de Qmechanic ): una simetría de calibre pura no tiene un contenido físico verdadero y no puede conducir a leyes de conservación.

Creo que estaba un poco confundido porque uno de los libros que estoy usando actualmente no hace referencia a un operador de carga y en su discusión sobre las transformaciones de fase global y local simplemente hace referencia a una transformación global. mi − i mi α donde e es la carga de un electrón y α es algo escalar. Es un libro de texto de introducción a la física de partículas, así que supongo que tiene sentido pasar por alto esto y no mencionar un operador. Cuando le pregunté a un profesor al respecto, afirmaron que la conservación de la carga resulta de la naturaleza arbitraria de la escala potencial, haciendo referencia a un argumento de Wigner.
Me pregunto, ¿sería cierto ese argumento? Creo que las partes más sustanciosas de las teorías de calibre están más allá de mí por el momento, así que me pregunto si estos argumentos sobre la conservación de la carga como consecuencia de un cambio potencial serían adecuados, junto con la discusión de un operador de carga y la transformación asociada. Una cosa más, mi profesor compara el cambio de fase con un cambio de potencial arbitrario, ¿es esto también adecuado?
@R.McGuigan Clásicamente, "la naturaleza arbitraria de la escala potencial" es exactamente igual a la simetría de calibre, y esto no tiene nada que ver con la mecánica cuántica o las fases. La aplicación del teorema de Noether a la parte global de la simetría produce una conversación de carga.
@ ACuriousMind Hmm, supongo que estoy un poco confundido entonces, la cita de mi profesor fue "Cambiar el potencial electrostático en una cantidad constante es una transformación global ya que cambia el potencial en todas partes y la invariancia bajo la transformación global está relacionada con una ley de conservación , es decir, cobrar". ¿Mi profesor es inexacto? Y podría una transformación mi i q t no ser tratado como algún tipo de transformación de fase? Las referencias a QTF y al teorema de Noether en QM probablemente estén más allá de mi capacidad para discutir actualmente, aunque puedo apreciar que proporcionarían argumentos mucho mejores.
@R.McGuigan Cambiar el potencial por una constante es precisamente la parte global de la simetría. La simetría de calibre es que puede agregar gradientes arbitrarios a los cuatro potenciales.
@ACuriousMind Creo que estoy empezando a entender ahora, así que si cambio mi potencial por una constante, ¿es esto lo mismo que transformar mi función de onda a través de una transformación de fase global? mi i mi ϕ ? donde e es carga y ϕ es un escalar constante? Porque creo que eso es lo que este libro que tengo está tratando de decir.
@R.McGuigan Lo siento, me expresé mal. Cambiar el potencial por una constante no es la parte global de la simetría, la parte global de la simetría no cambia el potencial en absoluto. Me temo que estos comentarios no son el lugar adecuado para enseñarle sobre la teoría de calibre o para desenredar la confusión subyacente que tiene. Le aconsejo que separe los siguientes conceptos con mucha más claridad: física clásica frente a física cuántica (es decir, campos potenciales frente a funciones de onda), calibre frente a simetría global, "transformación de fase global" frente a "simetría que actúa como una fase global". transformación en algunos estados".
@ACuriousMind Muy bien, gracias por sus respuestas, siento que han sido útiles. Aunque, si no le importa, ¿podría indicarme la dirección correcta para abordar el segundo grupo de conceptos? No estoy seguro de qué quiere decir exactamente con "simetría que actúa como una transformación de fase global en algunos estados". Algo me dice que esto es lo que no estoy captando. Si pudieras vincular o recomendar algo, sería muy apreciado.
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