¿Se conserva el operador boost (en el contexto de QFT)?

Supongamos que$G$es un grupo de Lie que admite alguna representación fiel unitaria fuertemente continua$U$en un espacio de Hilbert$\cal H$, para que podamos interpretar los elementos$a$del álgebra de mentira de$G$en términos de generadores autoadjuntos de grupos unitarios de un parámetro,

$$U(\exp(s a)) = e^{is A}\:.$$

los operadores$A$son autoadjuntos y comúnmente se definen en un subdominio denso llamado espacio de Garding donde son esencialmente autoadjuntos (otro dominio interesante es el construido por Nelson donde el exponencial en el lado derecho puede desarrollarse como en su serie estándar de Taylor ).

Si$G$es el grupo más grande de simetrías continuas del sistema cuántico, uno de estos subgrupos de un parámetro debería representar la evolución temporal del sistema. Supongamos que es el grupo generado por el elemento$-h$del álgebra de mentira de$G$. Por lo tanto, tenemos

$$U(\exp(-t h)) = e^{-it H}$$

Cambié el signo ya que la evolución del tiempo es la operación inversa de la traducción del tiempo.$H$, por definición , es el observable hamiltoniano del sistema. Obviamente, algunos requisitos físicos son necesarios en$H$, en primer lugar, su espectro debe estar delimitado por debajo, etc. No me pegaré a ellos aquí y de ahora en adelante supongo que$H$es un hamiltoniano físico de buen comportamiento.

Ahora tenemos dos posibilidades, si$a$es un elemento genérico del álgebra de Lie. Uno es ($\{\cdot, \cdot\}$es el conmutador estándar de álgebra de mentira)

$$\{h, a\}=0\tag{1}\:.$$

Como consecuencia de la igualdad de Hausdorff - Baker - Campbell en$G$, podemos exponenciar esta identidad a una identidad de grupo

$$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa)\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Aplicando la representación $U$: $$e^{itH} e^{sA} e^{-itH} = e^{sA}\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.$$ Aprovechando el teorema de Stone, tomando la derivada fuerte en $s$inmediatamente obtenemos $$e^{itH} A e^{-itH} = A\quad \forall t\in \mathbb R\:.$$ (Esta identidad está completamente bien planteada incluso en cuanto a sutilezas con dominios.) Esta identidad no dice nada más que la evolución de Heisenberg de lo observable$A$es constante y por lo tanto $A$es una constante de movimiento .

¿Qué pasa si en cambio

$$\{h, a\}\neq 0\: \mbox{?}\tag{2}\:.$$ En este caso tenemos $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(sa(t))\quad \forall t,s \in \mathbb R\:.\tag{2}$$ donde hemos utilizado la acción natural de $g \in G$sobre su álgebra de Lie, $$a \mapsto g^{-1}ag$$ y hemos definido el elemento del álgebra de Lie $a(t)$ $$a(t) := \exp(th) a\exp(-th) \quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{3}$$

Fijando una base$a_1, \ldots, a_n$del álgebra de mentira,

$$a = \sum_j c_j a_j \quad \mbox{for some reals $c_j$}$$ y por lo tanto $$a(t) = \sum_j c_j(t) a_j \quad \mbox{for some real valued functions $c_j= c_j(t)$}$$ la identidad encontrada se puede reformular a $$\exp(th) \exp(sa) \exp(-th) = \exp(\sum_{j=1}^n sa(t))\quad \forall t,s \in A\:.$$ Explotando nuevamente el teorema de Stone concluimos que para un observable construido a partir de los generadores autoadjuntos $A_j$(correspondiente a la base de la $a_j$), $$A = \sum_j c_j A_j \quad \mbox{for some reals $c_j$}$$ se mantiene $$e^{itH} A e^{-itH} = \sum^n_{j=1}c_j(t) A_j\quad \forall t\in \mathbb R\:.\tag{4}$$ (Esta identidad es válida en el espacio de Garding y puede extenderse a una verdadera identidad entre operadores autoadjuntos que toman los cierres de ambos lados). El contenido físico de la identidad encontrada es que,

incluso si el representante$A$del álgebra de Lie de observables no es una constante de movimiento, su evolución "a la Heisenberg" se describe sin embargo en términos de una combinación lineal de los generadores y la dependencia del tiempo afecta solo a los coeficientes numéricos.

Este es un resultado altamente no trivial. En realidad, el resultado se puede convertir en una afirmación sobre la existencia de constantes de movimiento paramétricamente dependientes del tiempo . Este es el procedimiento estándar generalmente adoptado en QFT, especialmente para el generador de refuerzo.

Asumiendo que (4) es válido, uno define el observable paramétricamente dependiendo del tiempo en la imagen de Schroedinger (y una vez más, la dependencia del tiempo solo aparece en los coeficientes)

$$A_S(t) := \sum^n_{j=1}c_j(-t) A_j$$

Con esta definición

$$A_S(0) := A$$

y, de (4), donde$U_t:= e^{-itH}$

$$A_H(t) := U^*_t A_S(t) U_t := A_S(0) \quad \forall t \in \mathbb R$$ que, formalmente, en algún dominio podría reescribirse $$\partial_t A_H(t) + i[H, A_H(t)]=0\:.$$

Si$G$es el grupo Poincaré, los generadores de impulso$K_j$son tratados de esa manera. Uno define los operadores de impulso parametrizados en el tiempo$K_{Sj}(t)$en la imagen de Schroedinger que siempre toman una forma como esta donde$j=1,2,3$,

$$K_{Sj}(t) = K_j - t Z_j$$ dónde $Z_j$es una cierta combinación lineal constante de los generadores del álgebra de Lie y $K$es el generador de impulso estándar que obtiene por las relaciones de conmutación. En QFT tiene una contribución por el espín y una parte orbital. $K$es importante porque está relacionado con el operador de posición relativista , ya que se puede entender si se realiza el límite no relativista (es decir, reemplazando el grupo de Poincaré con el grupo de Galilei) $$K_{Sj}(t) = mX_j - t P_j\:,$$ dónde $m$es la masa del sistema y $X_j$la posición de su centro de masa .

Tiene razón en que, en el álgebra abstracta de Poincaré, el "Hamiltoniano"$P^0$no conmuta con los impulsores$K^i = J^{0i}$. Pero, de manera crucial, "conservación" no tiene significado en el marco abstracto. La conservación de una cantidad es un enunciado sobre un sistema dinámico , ya sea en el formalismo lagrangiano o hamiltoniano. En particular, mientras que el teorema de Noether requiere que la simetría sea una simetría fuera del caparazón del Lagrangiano, la conservación de la corriente se cumple solo con el uso de las ecuaciones de movimiento , es decir, dentro del caparazón. Además, el álgebra de Poincaré como álgebra no sabe nada sobre el papel especial que juega el tiempo para la idea de conservación. Es solo un álgebra.

Por lo tanto, no hay forma de esperar un razonamiento de "primeros principios" que$J^{0i}$debe conservarse en todos los sistemas dinámicos que llevan una representación del álgebra de Poincaré, pero en aquellos que son invariantes de Poincaré , necesariamente necesitamos tener

$$\mathrm{i}[H,J^{0i}] + \partial_0 J^{0i} = 0 \tag{1}$$ exactamente por el razonamiento que ha presentado.

Formalmente, para considerar la dependencia del tiempo de$J^{0i}$y ec. (1) correctamente dentro de un marco hamiltoniano, tendríamos que definir un espacio de fase extendido agregando el tiempo$t$y su momento conjugado$p_t$al espacio de fases y definiendo el hamiltoniano extendido$\tilde{H} = p_t + H(t,x,p)$. Se puede demostrar que una cantidad$f(t,x,p)$es una constante de movimiento del sistema original si y solo si

$$\{f,\tilde{H}\} = 0$$ para este sistema extendido. Tenga en cuenta que $\{f,\tilde{H}\} = \{f,p_0\} + \{f,H\}$, por lo que esta es la ec. (1) disfrazado. Para obtener una referencia que hace esta extensión en detalle (y también analiza la cuantización de esta configuración), consulte, por ejemplo, "Simetrías mecánicas dependientes del tiempo y sistemas hamiltonianos extendidos" de Kuwabara.

Sin embargo, podemos argumentar de forma bastante directa que la ec. (1) no es una condición irrazonable considerando el significado físico de$J^{0i}$y$P^i$:

En el espacio de Minkowski, un impulso infinitesimal en la dirección x viene dado por$x\mapsto x+\epsilon t$para infinitesimal$\epsilon$, eso es,$J^{0x} x = t$. Tomando la derivada wrt$t$, esto se convierte inmediatamente$\partial_0 (J^{0x} x) = 1$, por lo que la transformación infinitesimal generada por$\partial_0 J^{0x}$es la traduccion$x\mapsto x+\epsilon$, que es exactamente la transformación el impulso$P^x$genera Es decir, la fórmula que escribes para$J^{0i}$al final de su pregunta que supuestamente depende de todos los detalles de la cuantización de QFT ... ¡no lo es! Incluso clásicamente, podemos decir que en funciones en el espacio de Minkowski, tenemos la representación

$$J^{0i} = x^0 \partial^i - x^i\partial^0$$ para los generadores de impulsos, y $\partial_0 J^{0i} = \partial^i = P^i$.