Fórmula covariante de Lorentz para cargas de Noether en QFT

Estoy buscando una expresión covariante de Lorentz de los cargos de Noether y encontré este artículo: https://arxiv.org/abs/hep-th/0701268 , sección II-A en particular.

Considere específicamente la ec. (20-21), afirman:

$$Q_\mu=\frac{1}{2}(\phi, P_\mu \rhd \phi),$$ $Q$es la carga conservada, " $\rhd$" es solo un símbolo de "actuando sobre" y el producto interno está definido por ( $\varepsilon$es la función de signo): $$(\phi_1, \phi_2)=\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)\tilde{\phi}_1^*(-p)\tilde{\phi}_2(p).$$ $\tilde{\phi}$es la transformada de fourier de $\phi$.

Por lo tanto, la Carga Noether es

$$\begin{equation} \label{1} \tag{1} Q_\mu = \frac{1}{2}\int d^4p \, \delta(p^2-m^2) \varepsilon(p_0)p_\mu\tilde{\phi}^*(-p)\tilde{\phi}(p). \end{equation}$$

Ahora estoy luchando por obtener la conocida expresión cuantificada en QFT:

$$Q_\mu= \int d^3p\,\, p_\mu \,\,a^\dagger (\vec{p}) \,a (\vec{p}), \,\,\,\,[a^\dagger (\vec{p}), \,a (\vec{q})]=-\delta^3 (\vec{p}-\vec{q})$$ de (1), conectando el campo escalar habitual de Klein-Gordon con operadores de creación y aniquilación.

Si no me equivoco (1) en el espacio de coordenadas parece

$$\int d^4x \,\,d^4y \,\, \phi (x) \Delta (x-y)\left( -i\frac{\partial \phi(y)}{\partial y^\mu}\right)=Q_\mu, \tag{2}$$ dónde $\Delta$es la función de conmutador habitual $$\Delta (x-y)=\int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \delta (p^2-m^2)e^{-ip\cdot (x-y)}.$$ Solo sustituyendo en (2) $$\phi(x)= \int \frac{d^3p}{\sqrt{2\omega}_\vec{p}}(a(\vec{p}) e^{-ip\cdot x}+a^\dagger(\vec{p}) e^{ip\cdot x} )$$ Parece que no estoy recibiendo la respuesta correcta.

Tal vez estoy haciendo mal algún cálculo o malinterpreté el artículo. ¡Cualquier ayuda sería muy apreciada!

ACTUALIZAR

Por ejemplo escribir$\phi(x)=\int d^4p \,\, a(p) \delta(p^2-m^2) e^{-ip \cdot x}$entonces$\tilde{\phi}(p)=a(p)\delta(p^2-m^2)$y (1) se convierte en

$$Q_\mu= \frac{1}{2} \int d^4p \,\, \varepsilon(p_0) \, p_\mu a(-p)a(p)\,\,\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2).$$ ¿Es esto correcto? ¿Cómo resolver los tres deltas? Podría usar la identidad $\delta(x)f(x)=\delta(x)f(0)$con $f=\delta$dos veces para conseguir $$\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)\delta(p^2-m^2)=\delta(p^2-m^2)\delta(0)\delta(0)=\delta(p^2-m^2)\cdot \mathcal{S},$$ dónde $\mathcal{S}$es una contribución superficial (infinita) que actualmente no veo cómo se cancela. ¿Qué me estoy perdiendo?