Ninguna corriente para el lagrangiano de Yang-Mills-Higgs

Estoy tratando de calcular la corriente de Noether, más específicamente, la densidad de energía del Yang-Mills-Higgs Lagrangian. Consulte las ecuaciones en las conferencias de Harvey sobre monopolos magnéticos, dualidad y supersimetría . Estoy tratando de obtener la ecuación 1.25 del Lagrangiano 1.20. Mi Lagrangiano es el siguiente:

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}Tr(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})+\frac{1}{2}Tr(D_\mu \Phi D^\mu \Phi)-V(\Phi)$$

Como el Lagrangiano es invariante bajo la transformación de calibre, la corriente de Noether es

$$\Theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}\partial_\nu A_\mu + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu \Phi)}\partial_\nu \Phi$$

La primera derivada de la corriente se puede calcular de la siguiente manera:

$$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=2F^{\alpha \beta}\frac{\partial F_{\alpha \beta}}{\partial{(\partial_\mu A_\nu)}}$$ expandiéndose $F_{\alpha\beta}$y usando $\frac{\partial(\partial_\alpha A_\beta)}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta$, obtenemos $$\frac{\partial(F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})}{\partial(\partial_\mu A_\nu)}=2F^{\alpha\beta}(\delta^\mu_\alpha\delta^\nu_\beta-\delta^\mu_\beta\delta^\nu_\alpha)=4F^{\mu\nu}$$

Exactamente de la misma manera, se puede realizar el cálculo de la segunda derivada. Entonces obtengo lo siguiente:

$$\Theta ^{\mu \nu}=-F^{\mu\nu} \partial_\nu A_\mu + D_\mu \Phi \partial_\nu \Phi$$

A partir de esto, ¿cómo obtengo la respuesta escrita en las conferencias de Harvey?

$$\Theta^{\mu \nu}=F^{\mu \rho}F^{\rho \nu}+D^\mu \Phi D^\nu \Phi$$

Me he esforzado mucho, pero no obtengo los términos 'adicionales' en la respuesta para cancelar y darme mi respuesta, o estoy cometiendo algún error fundamental. Gracias de antemano.

EDITAR : como ha señalado Ron, se espera que calculemos el tensor de energía simétrica. Por favor, ¿alguien podría decirme cómo obtener el tensor de energía-tensión simétrico directamente y del tensor de energía canónico, cuál es la diferencia conceptual entre los dos? Si es posible sugerir una referencia.