¿Por qué solo el tercer componente del isospín débil se usa como cantidad conservada?

Usando el teorema de Noether

∂ 0 ∫ d 3 X ( ∂ L ∂ ( ∂ 0 Ψ ) d Ψ ) = 0

obtenemos tres cantidades conservadas q i de mundial S tu ( 2 ) simetría, porque el Lagrangiano es invariante bajo transformaciones infinitesimales de la forma d Ψ = i a i σ i Ψ . Las cantidades conservadas que se derivan del doblete libre Lagrangiano L = i Ψ ¯ γ m ∂ m Ψ son por lo tanto

q i = i Ψ ¯ γ 0 σ i Ψ = ( v mi mi ) † γ 0 γ 0 ⏟ = 1 σ i ( v mi mi )

¿Por qué las cantidades conservadas que se siguen de i = 1 o i = 2 , nunca mencionado o utilizado? Para i = 1 tenemos

q 1 = ( v mi mi ) † σ 1 ( v mi mi ) = ( v mi mi ) † ( 0 1 1 0 ) ( v mi mi ) = v mi † mi + mi † v mi

o por i = 3 tenemos

q 3 = ( v mi mi ) † σ 3 ( v mi mi ) = ( v mi mi ) † ( 1 0 0 − 1 ) ( v mi mi ) = v mi † v mi − mi † mi

que es el tercer componente generalmente utilizado de isospin débil.

pista: ¿cuántos generadores de SU(2) se pueden diagonalizar simultáneamente? ¿Por qué un generador diagonal podría conducir a un número cuántico más útil que uno no diagonal?
S tu ( 2 ) tiene un generador Cartan. No estoy seguro de tu segunda pregunta. ¿Quiere decir que los operadores diagonales se pueden medir al mismo tiempo y, por lo tanto, solo una de estas tres cantidades conservadas se puede "medir" al mismo tiempo? O: Los objetos en el doblete, aquí v mi y mi son solo estados propios para el generador diagonal. Para los otros generadores no podemos asignar un número definitivo a v mi y mi , porque no son estados propios?
Eso es una convención. Los 3 componentes se pueden elegir igualmente como una cantidad conservada. Desafortunadamente, no se pueden medir simultáneamente, por lo que si mide uno de ellos y obtiene el valor propio de ese, los otros no se arreglarán. Por lo tanto, es convencional considerar solo un componente.

Respuestas (1)

La pregunta está mal formulada. El teorema de Noether está bien como declaración de simetría, pero tu táctica falla. Para que exista la carga que está discutiendo, debe aniquilar el vacío de la teoría, según el teorema de Fabri-Picasso . En su defecto, explota ~ no existe: el sello distintivo de SSB. Supongo que puede haber entendido mal q 3 presentado como una cantidad conservada, que no lo es: ¡Observe el signo menos tóxico en lugar del signo más del número de leptones válido! (En la práctica, un electrón zurdo que se propaga se acopla/transmuta en uno diestro de isosinglete débil a través del término de masa que implica un vev de Higgs. Por así decirlo, "absorbería algo de q 3 del vacío de EW"—¡una caricatura ciertamente barroca para una cantidad que está mal definida!)

En el modelo estándar, todas las corrientes se conservan ; de lo contrario, no se acoplarían de manera uniforme para medir los campos; pero el paso final desde el que comienza, es decir, la integral espacial del componente cero actual, puede o no existir, según la advertencia anterior.

En el SM, por supuesto, la carga EM, una combinación lineal q 3 + Y , donde Y es la hipercarga débil que aniquila el vacío (por lo que no se rompe) ¡y por lo tanto existe!

El aspirante a cargo independiente cuya corriente se acopla a la Z , q 3 porque 2 ⁡ θ W − Y pecado 2 ⁡ θ W , por el contrario, no lo hace, al igual que q 1 , q 2 . No los ves escritos, ya que pocos aprecian el boxeo de sombras con fantasmas.

Editar : Pero... ¿podrías hacer trampa? ¿Cuando? Un violinista escéptico bien podría objetar que, como mínimo, el vértice de decaimiento β efectivo de Fermi, GRAMO F   norte ¯ γ m PAG L pag   v ¯ γ m PAG L mi , o el actual-actual para el decaimiento de μ, etc., conserva algo q 3 como un buen número cuántico, después de todo:

q 3 ( norte L ) = q 3 ( pag L ) + q 3 ( v ¯ mi ) + q 3 ( mi L ) = 1 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2 = − 1 / 2 ,
q 3 ( m ) = q 3 ( mi ) + q 3 ( v m ) + q 3 ( v ¯ mi ) , etcétera. Y esto no es una coincidencia. ¿Podrían algunos q 3 ser de alguna manera todavía útil como una ley de conservación aproximada?

De hecho, el Lagrangiano EW, en sí mismo y sus avatares efectivos, poseen la simetría SU(2) L como se indica y, a menos que un acoplamiento de Higgs estuviera involucrado , se espera que los vértices respeten esta simetría, en algún nivel. Aún así, cualquier interacción de Higgs es propensa a la contaminación por SSB, como en la propagación de fermiones, ilustrada arriba, que estropea la simetría. La respuesta entonces es "con cuidado": violinista de advertencia. La escisión forense de los efectos de la contaminación de Higgs sería un arte arriesgado.

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