Suma infinita de factorial descendente y potencia

Question

Suma infinita de factorial descendente y potencia

factorial
suma
Matemáticas
secuencias y series

Josué Heath

Según Mathematica,

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(GRAMO + k)_{GRAMO - 1}}{2^{k}} = 2 (GRAMO - 1)! (2^{GRAMO} - 1)

$\sum_{k=0}^\infty \frac{(G+k)_{G-1}}{2^k}=2(G-1)!(2^{G}-1)$

dónde

(GRAMO + k)_{GRAMO - 1} = \frac{(GRAMO + k)!}{(GRAMO + k - GRAMO + 1)!} = \frac{(GRAMO + k)!}{(k + 1)!}

$(G+k)_{G-1}=\frac{(G+k)!}{(G+k-G+1)!}=\frac{(G+k)!}{(k+1)!}$

es el factorial descendente. Me gustaría calcular esto analíticamente, pero no tengo nada de lo que he estado haciendo. Una prueba por inducción me llevó a una suma más compleja y puedo dividirla o simplificar el factorial descendente. ¿Hay alguna forma posible de evaluar esto sin recurrir a Mathematica? Cualquier ayuda y/o referencias serían muy apreciadas.

Marco Cantarini

Me tomé la libertad de editar la pregunta. escribí

2^{G}

$2^{G}$ en lugar de

2^{G - 1} .

$2^{G-1}.$

Respuestas (3)

Suma infinita de factorial descendente y potencia

Me tomé la libertad de editar la pregunta. escribí $2^{G}$ en lugar de $2^{G-1}.$

greg martin · Answer 1

Generando funciones al rescate!

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{\infty} X^{k} & = \frac{1}{1 - X} \\ \sum_{k = 0}^{\infty} X^{GRAMO + k} & = \frac{X^{GRAMO}}{1 - X} = \frac{1}{1 - X} - 1 - X - \dots - X^{GRAMO - 1} \\ \frac{d^{GRAMO - 1}}{d X^{GRAMO - 1}} \sum_{k = 0}^{\infty} X^{GRAMO + k} & = \frac{d^{GRAMO - 1}}{d X^{GRAMO - 1}} (\frac{1}{1 - X} - 1 - X - \dots - X^{GRAMO - 1}) \\ \sum_{k = 0}^{\infty} (GRAMO + k)_{GRAMO - 1} X^{k + 1} & = \frac{(GRAMO - 1)!}{(1 - X)^{GRAMO}} - (GRAMO - 1)! \\ \sum_{k = 0}^{\infty} (GRAMO + k)_{GRAMO - 1} (\frac{1}{2})^{k + 1} & = \frac{(GRAMO - 1)!}{(1 - \frac{1}{2})^{GRAMO}} - (GRAMO - 1)! \\ \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(GRAMO + k)_{GRAMO - 1}}{2^{k}} & = 2^{GRAMO} (GRAMO - 1)! - (GRAMO - 1)! . \end{aligned}

$\begin{align*} \sum_{k=0}^\infty x^k &= \frac1{1-x} \\ \sum_{k=0}^\infty x^{G+k} &= \frac{x^G}{1-x} = \frac1{1-x} - 1 - x - \cdots - x^{G-1} \\ \frac{d^{G-1}}{dx^{G-1}} \sum_{k=0}^\infty x^{G+k} &= \frac{d^{G-1}}{dx^{G-1}} \bigg( \frac1{1-x} - 1 - x - \cdots - x^{G-1} \bigg) \\ \sum_{k=0}^\infty (G+k)_{G-1} x^{k+1} &= \frac{(G-1)!}{(1-x)^G} - (G-1)! \\ \sum_{k=0}^\infty (G+k)_{G-1} \big(\tfrac12\big)^{k+1} &= \frac{(G-1)!}{(1-\frac12)^G} - (G-1)! \\ \frac12 \sum_{k=0}^\infty \frac{(G+k)_{G-1}}{2^k} &= 2^G(G-1)! - (G-1)!. \end{align*}$ (La serie original, y por lo tanto todas las series posteriores, tienen un radio de convergencia

1

$1$ , así que conectando

x = \frac{1}{2}

$x=\frac12$ es válida.)

Marco Cantarini · Answer 2

Tenemos

S = \sum_{k \geq 0} \frac{(GRAMO + k)!}{(k + 1)!} {(\frac{1}{2})}^{k} = (GRAMO - 1)! \sum_{k \geq 0} (\binom{GRAMO + k}{GRAMO - 1}) {(\frac{1}{2})}^{k}

$S=\sum_{k\geq0}\frac{\left(G+k\right)!}{\left(k+1\right)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\left(G-1\right)!\sum_{k\geq0}\dbinom{G+k}{G-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$ y desde que se sostiene

(\binom{GRAMO + k}{GRAMO - 1}) = \sum_{metro = 0}^{GRAMO - 1} (\binom{k + metro}{metro})

$\dbinom{G+k}{G-1}=\sum_{m=0}^{G-1}\dbinom{k+m}{m}$ tenemos, intercambiando la suma con la serie

S = (GRAMO - 1)! \sum_{metro = 0}^{GRAMO - 1} \sum_{k \geq 0} (\binom{k + metro}{metro}) {(\frac{1}{2})}^{k}

$S=\left(G-1\right)!\sum_{m=0}^{G-1}\sum_{k\geq0}\dbinom{k+m}{m}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$ ahora tenga en cuenta que

\frac{(k + metro)!}{metro!} = (k + metro) (k + metro - 1) \dots (k + metro - (k - 1)) = {(- 1)}^{k} {(- (metro + 1))}_{k}

$\frac{\left(k+m\right)!}{m!}=\left(k+m\right)\left(k+m-1\right)\cdots\left(k+m-\left(k-1\right)\right)=\left(-1\right)^{k}\left(-\left(m+1\right)\right)_{k}$ dónde

{(x)}_{k}

$\left(x\right)_{k}$ es el símbolo de Pochhammer , por lo que por el teorema del binomio generalizado tenemos

\sum_{k \geq 0} (\binom{k + metro}{metro}) {(\frac{1}{2})}^{k} = \sum_{k \geq 0} (\binom{- (metro + 1)}{k}) {(- \frac{1}{2})}^{k}

$\sum_{k\geq0}\dbinom{k+m}{m}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=\sum_{k\geq0}\dbinom{-\left(m+1\right)}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^{k}$

= \frac{1}{{(1 - \frac{1}{2})}^{metro + 1}} = 2^{metro + 1}

$=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^{m+1}}=2^{m+1}$ y finalmente

\sum_{metro = 0}^{GRAMO - 1} 2^{metro + 1} = 2 (2^{GRAMO} - 1)

$\sum_{m=0}^{G-1}2^{m+1}=2\left(2^{G}-1\right)$ entonces

$\sum_{k \geq 0} \frac{(GRAMO + k)!}{(k + 1)!} {(\frac{1}{2})}^{k} = 2 (GRAMO - 1)! (2^{GRAMO} - 1) .$ $\sum_{k\geq0}\frac{\left(G+k\right)!}{\left(k+1\right)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}=2\left(G-1\right)!\left(2^{G}-1\right).$

Jack D´Aurizio · Answer 3

Asumiendo $G>0$ , utilizando la serie de Taylor de la función exponencial y la identidad $m!=\int_{0}^{+\infty}x^m e^{-x}\,dx$ tenemos:

$\begin{array}{rcl} \sum_{k \geq 0} \frac{(GRAMO + k)!}{2^{k} (k + 1)!} & = & \sum_{k \geq 0} \frac{1}{2^{k} (k + 1)!} \int_{0}^{+ \infty} X^{GRAMO + k} {mi}^{- X} d X \\ = & \int_{0}^{+ \infty} X^{GRAMO} {mi}^{- X} \sum_{k \geq 0} \frac{X^{k}}{2^{k} (k + 1)!} d X \\ = & \int_{0}^{+ \infty} 2 X^{GRAMO - 1} ({mi}^{- X / 2} - {mi}^{- X}) d X \\ = & 2^{GRAMO + 1} (GRAMO - 1)! - 2 (GRAMO - 1)! \\ = & 2 (2^{GRAMO} - 1) (GRAMO - 1)! \end{array}$ $\begin{eqnarray*}\sum_{k\geq 0}\frac{(G+k)!}{2^k(k+1)!}&=&\sum_{k\geq 0}\frac{1}{2^k(k+1)!}\int_{0}^{+\infty}x^{G+k}e^{-x}\,dx\\[0.2cm]&=&\int_{0}^{+\infty}x^G e^{-x}\sum_{k\geq 0}\frac{x^k}{2^k(k+1)!}\,dx\\[0.2cm]&=&\int_{0}^{+\infty}2x^{G-1}(e^{-x/2}-e^{-x})\,dx\\[0.2cm]&=&2^{G+1}(G-1)!-2(G-1)!\\[0.2cm]&=&\color{red}{2(2^G-1)(G-1)!}\end{eqnarray*}$

como quería

Suma infinita de factorial descendente y potencia

Josué Heath

Marco Cantarini

Respuestas (3)

greg martin

Marco Cantarini

Jack D´Aurizio

Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

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