Evaluando ∑∞y=a(ya)⋅py−a∑y=a∞(ya)⋅py−a\sum_{y=a}^{\infty}{y \choose a} \cdot p^{ya} para p∈[0,1]p∈[0,1]p \en [0,1]

Dejar

$$c_a=\sum_{y=a}^{+\infty}{y \choose a}p^{y-a}$$ Definir la función generadora $$\begin{split} f(z)&=\sum_{a=0}^{+\infty}c_a z^a\\ &=\sum_{a=0}^{+\infty}\sum_{y=a}^{+\infty}{y \choose a}p^{y-a}z^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}\sum_{a=0}^{y}{y \choose a}p^{y-a}z^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}p^y\sum_{a=0}^{y}{y \choose a}\left(\frac z p\right)^a\\ &=\sum_{y=0}^{+\infty}p^y\left(1+\frac z p\right)^y\\ &= \frac 1 {1-p-z}\\ &= \frac 1 {1-p} \cdot \frac 1 {1-\frac z { 1-p}}\\ &= \frac 1 {1-p} \sum_{a=0}^{+\infty}\frac 1 {(1-p)^a}z^a \end{split}$$ Esto da la fórmula deseada para$c_a$. $$c_a=\frac1 {(1-p)^{a+1}}$$

Obtenemos

$$\begin{align*} \color{blue}{\sum_{y=a}^\infty\binom{y}{a}p^{y-a}}&=\sum_{y=0}^\infty\binom{y+a}{y}p^y\tag{1}\\ &=\sum_{y=0}^\infty\binom{-a-1}{y}(-p)^y\tag{2}\\ &\,\,\color{blue}{=\frac{1}{(1-p)^{a+1}}}\tag{3} \end{align*}$$

Comentario:

• En (1) cambiamos el índice para comenzar con$y=0$y usa la identidad binomial$\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$.

• En (2) usamos la identidad binomial$\binom{-p}{q}=\binom{p+q-1}{q}(-1)^q$.

• En (3) aplicamos el desarrollo en serie binomial .

Entonces tenemos

$$S = \binom{a}{a} + \binom{a+1}{a}p + \binom{a+2}{a}p^2 + \space ...$$ $$pS = \binom{a}{a}p + \binom{a+1}{a}p^2 + \binom{a+2}{a}p^3 + \space ...$$

restando, obtenemos

$$(1-p)S = \binom{a}{a} + \binom{a}{a-1}p + \binom{a+1}{a-1}p^2 + \space ...$$ (He usado la identidad$\binom{a}{a-1} + \binom{a}{a} = \binom{a+1}{a}$)

Si hacemos lo mismo con la expresión anterior tomando$p(1-p)S$y restándolo, obtenemos

$$(1-p)^2S = \binom{a}{a} + (\binom{a}{a-1} -\binom{a}{a})p + \binom{a}{a-2}p^2 + \space ...$$

fíjate que por$(1-p)^n$, el$(n+1)th$coeficiente binomial se reduce a$a$en la parte superior y la$nth$término se reduce por el coeficiente del anterior. Si extrapolamos y hacemos esto varias veces, obtenemos:

$$(1-p)^aS = \binom{a}{a} + (\binom{a}{a-1} - (a-1)\binom{a}{a})p + ( \binom{a}{a-2} - (a-2)\binom{a}{a-1} + \frac{(a-2)(a-1)}{2}\binom{a}{a})p^2 + \space ...$$

si terminamos expandiendo los coeficientes, estos se reducen a:

$$(1-p)^aS = 1 + p + p^2 + p^3 + \space ...$$

¡y voilá! El lado derecho es ahora un GP infinito, que converge a$\frac{1}{1-p}$. Reordenando los términos, obtenemos:

$$S = \frac{1}{(1-p)\cdot(1-p)^a} = \frac{1}{(1-p)^{a+1}}$$

cual es la respuesta final.