Forma cerrada de series de doble suma

¿La siguiente serie tiene una expresión de forma cerrada (o al menos más simple):

∑ a = 1 ∞ ( X a a ! ∑ b = 0 a − 1 y b b ! )

Dado que la suma interna estaría vacía para a = 0 , supongo que la suma externa podría comenzar en cero sin cambiar el significado, es decir:

∑ a = 0 ∞ ( X a a ! ∑ b = 0 a − 1 y b b ! )

Este problema surgió al calcular la probabilidad de ganar en un partido de fútbol con el gol de cada equipo modelado como un proceso de Poisson. La suma externa se relaciona con los goles marcados por el equipo A (el equipo ganador) y la suma interna se relaciona con los (menor número de) goles marcados por el equipo B (el equipo perdedor).

Gracias,

John

Respuestas (1)

Puedes simplificar un poco ya que la suma interna

∑ b = 0 a − 1 y b b ! = Γ ( a , y ) Γ ( a ) mi y
donde aparece la función gamma incompleta.

Esto hace que te quedes con

∑ a = 1 ∞ ( X a a ! ∑ b = 0 a − 1 y b b ! ) = mi y ∑ a = 1 ∞ Γ ( a , y ) a ! ( a − 1 ) ! X a
que, al menos para mí, no simplificará más.

Dejar j 0 ( X ) = ∑ a ≥ 0 X 2 a a ! 2 una función de Bessel. Entonces
mi 2 X = ∑ a ≥ 0 , b ≥ 0 X a X b a ! b ! = ∑ a = b + ∑ b < a + ∑ a > b X a X b a ! b ! = j 0 ( X ) + 2 ∑ a ≥ 0 , 0 ≤ b < a X a X b a ! b !
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