Cálculo finito: aplique el operador de diferencias al factorial descendente generalizado (ax+b)m––(ax+b)m_(ax+b)^{\underline m}

El$m$potencia factorial descendente de$x$Se define como

$x^{\underline m}:=x(x-1)...(x-m+1),$

y el operador diferencia como

$\Delta f(x) := f(x+1)-f(x).$

Una afirmación fundamental en cálculo finito es la identidad

$\Delta x^{\underline m} = m x^{\underline {m-1}}.$

Sin embargo, hay una versión más general (que se encuentra, por ejemplo, aquí , página 68, eq.(6)): Sea$a,b\in\mathbb{Z}$, entonces

$\Delta (ax+b)^{\underline m}=am(ax+b)^{\underline {m-1}}.$

Desafortunadamente (a mi entender) el autor no da una justificación clara. ¿Hay una manera simple de derivar esto de lo mencionado anteriormente?$(a,b)=(1,0)$-caso. El cambio$b$parece ser trivial, pero no tengo idea de cómo entender$a\neq 1$.

Editar:

Como @BrianM.Scott señaló correctamente, la declaración es falsa. Como comentario final, me gustaría proporcionar la versión correcta de la declaración, que es verdadera, para resolver el malentendido del Libro citado anteriormente.

Definir lo más general$m$potencia factorial decreciente con escalón$s$como

$x^{\underline {m,s}}:=x(x-s)(x-2s)...(x-(m-1)s),$

entonces

$\Delta (ax+b)^{\underline {m,a}} = am(ax+b)^{\underline {m-1,a}}.$

Esto se puede probar fácilmente por inducción en$m$.