Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi

Utilizando la Identidad del Producto Triple de Jacobi, demuestre que

∏ norte ≥ 1 ( 1 − X norte ) 6 =   1 2 { ∏ norte ≥ 1 ( 1 + X 2 norte − 1 ) 2 ( 1 − X 2 norte ) × ( 1 + 4 X d d X ) 2 ∏ norte > 1 ( 1 + X 2 norte ) 2 ( 1 − X 2 norte ) − 2 ∏ norte > 1 ( 1 + X 2 norte ) 2 ( 1 − X 2 norte ) × 4 X d d X ∏ norte ⩾ 1 ( 1 + X 2 norte − 1 ) 2 ( 1 − X 2 norte ) }

Encontré esta identidad en Una prueba simple del teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi . He dado una imagen. ingrese la descripción de la imagen aquíMira que después del paso

∏ norte ≥ 1 ( 1 − X norte ) 6   = 1 2 { ∑ s = − ∞ ∞ X s 2 ∑ r = − ∞ ∞ ( 2 r + 1 ) 2 X r 2 + r − ∑ r = − ∞ ∞ X r 2 + r ∑ r = − ∞ ∞ ( 2 s ) 2 X s 2 } = 1 2 { ∑ s = − ∞ ∞ X s 2 × ( 1 + 4 X d d X ) ∑ r = − ∞ ∞ X r 2 + r − ∑ r = − ∞ ∞ X r 2 + r × 4 X d d X ∑ r = − ∞ ∞ X s 2 }

¿Cómo obtuvieron la identidad usando la Identidad de Producto Triple de Jacobi?

Respuestas (1)

La identidad del triple producto de Jacobi establece que

(1) ∑ norte ∈ Z z norte X norte 2 = ∏ norte = 1 ∞ ( 1 − X 2 norte ) ( 1 + z X 2 norte − 1 ) ( 1 + z − 1 X 2 norte − 1 )
para todos los números complejos X , z tal que z ≠ 0 , | X | < 1 .

Poniendo z = 1 obtenemos

(2) ∑ norte ∈ Z X norte 2 = ∏ norte = 1 ∞ ( 1 + X 2 norte − 1 ) 2 ( 1 − X 2 norte )
Poniendo z = X en ( 1 ) obtenemos
∑ norte ∈ Z X norte 2 + norte = ∏ norte = 1 ∞ ( 1 + X 2 norte ) ( 1 + X 2 norte − 2 ) ( 1 − X 2 norte )
Nótese que el factor ( 1 + X 2 norte − 2 ) es igual 2 si norte = 1 y por lo tanto podemos escribir la ecuación anterior como
(3) ∑ norte ∈ Z X norte 2 + norte = 2 ∏ norte = 1 ∞ ( 1 + X 2 norte ) 2 ( 1 − X 2 norte )
El artículo de MD Hirschhorn utiliza las identidades ( 2 ) , ( 3 ) en su derivación. Avíseme si hay algo más que le preocupa en esa prueba.

Demuestre esta identidad utilizando la identidad de producto triple de Jacobi
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