Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})

He estado tratando de calcular la siguiente suma por un tiempo ahora:

∑ k = 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ( k − 1 ) ! ( 1 − 2 k )

Estoy bastante seguro de que esto no se evalúa como 0 .

Como k aumenta el término tiende a 0 , pero los primeros términos se suman para dar un número distinto de cero.

Solo estoy teniendo problemas para averiguar cómo encontrar ese número. Cualquier ayuda sería apreciada.

Puedes escribir el interior de la suma como k − 2 ( k + 1 ) ! . No estoy seguro si esto puede ayudar.

Respuestas (2)

Sugerencia: tenga en cuenta que 1 − 2 k = ( k + 1 ) − 3 k . Entonces nuestra suma es

∑ 1 ∞ 1 k ! − 3 ∑ 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ! .
Cada suma es un pariente bastante cercano de mi .

Según math.stackexchange.com/questions/1054175/… . ¿No sería e - 1? Ya que estamos comenzando en 1, no en 0.
@The_Questioner: La primera suma es mi − 1 . el segundo es mi − 2 . Así que nuestra serie original tiene suma ( mi − 1 ) − 3 ( mi − 2 ) .
@The_Questioner Puedo confirmar usando un método mucho menos elegante que 5-2e es la respuesta correcta

Intentemos dividir la serie (ya que si converge a un número finito, será absolutamente convergente, ya que todos los términos son positivos).

∑ k = 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ( k − 1 ) ! ( 1 − 2 k ) = ∑ k = 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ( k − 1 ) ! − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ( k ) ( k − 1 ) ! = ∑ k = 1 ∞ k ( k + 1 ) ( k ) ( k − 1 ) ! − 2 ∑ k = 1 ∞ 1 ( k + 1 ) ! = ∑ k = 1 ∞ k ( k + 1 ) ! − 2 [ ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 2 ) ! + 1 0 ! + 1 1 ! − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ k + 1 ( k + 2 ) ! − 2 [ ∑ k = 0 ∞ 1 k k ! − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ k ( k + 2 ) ! + ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 2 ) ! − 2 [ mi 1 − 2 ]

Usando la misma técnica que antes:

= ∑ k = 0 ∞ k ( k + 2 ) ! + [ mi 1 − 2 ] − 2 [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 1 ∞ k ( k + 2 ) ! − [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 1 ∞ k ( k + 2 ) ! + ∑ k = 0 ∞ 2 ( k + 2 ) ! − ∑ k = 0 ∞ 2 ( k + 2 ) ! − [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ k + 2 ( k + 2 ) ! − 2 ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 2 ) ! − [ mi 1 − 2 ]

Usando una segunda vez nuestro cálculo que ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 2 ) ! = mi 1 − 2 obtenemos

= ∑ k = 0 ∞ k + 2 ( k + 2 ) ! − 3 [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 1 ) ! − 3 [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + 1 ) ! + 1 − 1 − 3 [ mi 1 − 2 ] = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! − 1 − 3 [ mi − 2 ] = mi − 1 − 3 mi + 6 = − 2 mi + 5

OMS. Gracias por el trabajo que pusiste. Entiendo tu método.
Perdón por el lío: comencé antes de que Andre Nicolas publicara su respuesta, por lo que no vi la solución más elegante antes de que ya hubiera recorrido el 80% del camino, momento en el que pensé que también podría terminar.
Cómo encontrar la sumatoria de esta serie infinita: ∑∞k=11(k+1)(k−1)!(1−2k)∑k=1∞1(k+1)(k−1)!(1 −2k)\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k+1)(k-1)!}(1 - \frac{2}{k})
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